Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
a) Équations du premier ordre
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Résolution de $y' + a(t)y = f(t)$ où $a$ et $f$ sont des fonctions continues sur un intervalle : • résolution de l’équation homogène associée, cas particulier où $a$ est constante, • principe de superposition, • méthode de variation de la constante, • cas particulier où $a$ et $f$ sont constantes. | Pour toute autre équation différentielle du premier ordre, une méthode de résolution doit être fournie. ⇌ On peut montrer des exemples tirés de la physique-chimie : cinétique d’une réaction, charge d’un condensateur, système physique en contact avec un thermostat, … |
exo7 6356
Montrer que la matrice ...
exo7 6358
On considère l’équation différentielle linéaire sur \(\Rr^n\) ...
exo7 6360
On considère l’équation du pendule \(x''+\sin x=0\).
On sait que les solutions maximales sont défin ...
exo7 6810
Soit \(W = \{\,(x,y) \in \Rr^2 \mid x>0 \,\}\) et ...
exo7 6991
Résoudre sur \(\R\) les équations différentielles suivantes:
exo7 6992
Déterminer toutes les fonctions \(f:[0;1]\to\R\), dérivables, telles que ...
exo7 6993
Résoudre l’équation différentielle \((x^2+1)y'+2xy=3x^2+1\) sur \(\R\). Trace ...
exo7 6994
Résoudre les équations différentielles suivantes en trouvant une solution particulière par la méthode de variation de la constante :
exo7 6995
On considère l’équation différentielle \[y'-e^xe^y=a\] Déterminer ses solutions, en précisant soigneusement l ...
exo7 6996
Pour les équations différentielles suivantes, trouver les solutions définies sur \(\R\) tout entier :
exo7 845
Résoudre les équations différentielles suivantes :
exo7 846
Pour chacune des équations différentielles qui suit : écrire la solution passant par le point M(.,.) et tracer sommairement le graphe de la solutio ...
exo7 847
On se propose d’intégrer sur l’intervalle le plus grand possible contenu dans \(]0, \infty[\) l’équation différent ...
exo7 848
Trouver les solutions réelles des équations différentielles suivantes :
exo7 849
Trouver les solutions réelles des équations différentielles suivantes :
exo7 850
Trouver les solutions réelles sur l’intervalle maximal de l’équation différentielle : \[t^2y'+y = 1.\]
exo7 851
Soit l’équation différentielle \[(E)\qquad y'+2xy = x.\]
exo7 852
Résoudre et raccorder éventuellement :
exo7 853
Résoudre le système différentiel : ...
exo7 854
Résoudre l’équation différentielle de Ricatti \(x^2y' = x^2y^2 + xy + 1\) en trouvant une solution particulièr ...
exo7 855
Soit l’équation différentielle : \[(E):\frac{dy(x)}{dx}+y(x)=x^{2}+2x\] Intégrer ...
exo7 856
On considère l’équation différentielle suivante : \[(E)\qquad y'-(1-\tan(x))y=\cos(x).\] On s’intéresse à cet ...
exo7 858
Soit \(f \in C^{1}({\Rr},{\Rr})\) telle que \(f(0)=1\) et ...
exo7 884
En posant \(t=\arctan x,\) résoudre : ...
Fonction de $n$ variables et laplacien nul
Soit \(g \colon ]0;+\infty[ \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\). So ...
Résolution d'une équation différentielle
Soit l’équation différentielle \((E)\) définie pour \(\alpha>0\) par : ...
Solution d'équation différentielle développable en série entière
Trouver sous forme d’une série entière la solution de l’équation différentielle \((E)\): ...
Équation différentielle linéaire du premier ordre — variation de la constante
On considère les équations différentielles, définies pour \(x > 0\) : ...