Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Géométrie 1
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Ce chapitre vise à consolider les acquis des années antérieures sur les notions de vecteurs, droites et plans dans le plan et l’espace géométriques. En mathématiques, il sert essentiellement de support intuitif et introductif à l’algèbre linéaire ; il permet aussi de présenter le produit scalaire qui sera étudié dans des espaces plus généraux en seconde année. Enfin, ce chapitre sert également aux sciences physiques et à la géologie.
En mathématiques, une épreuve écrite ou orale ne doit pas reposer sur ce chapitre.
Dans tout ce chapitre, on se place dans le plan et l’espace géométriques formés de points et dans lesquels plusieurs notions et résultats sont supposés connus : distance entre deux points, parallélisme, perpendicularité, angle géométrique, angle orienté, angle droit, cosinus d’un angle géométrique, trigonométrie du triangle rectangle.
- a) Vecteurs du plan et de l’espace. 50
- b) Déterminant 17
- c) Droites et cercles dans le plan 168
- d) Droites et plans dans l’espace 122
- e) Projection orthogonale 61
- f) Produit scalaire 78
exo7 7087
Soient \([AB]\) et \([CD]\) deux segments parallèles de longueurs différentes. Mo ...
exo7 7088
Soit \(\mathcal D\) une droite, \(A\) et \(B\) d ...
exo7 7090
Soit \(ABCD\) un parallélogramme, et \(M\) un point sur la diagonale ...
exo7 7091
On donne un cercle \(\mathcal C\) (de centre \(O\)), un point ...
exo7 7093
Soit \(ABCD\) un rectangle et \(M\) un point du plan.
On note ...
exo7 7097
Soit \(\mathcal C\) un cercle et \(D\) une droite. Construire une droite parallèl ...
exo7 7098
On donne deux droites parallèles et un point \(A\) entre les deux droites. Dénombrer et tracer les cercles passant ...
exo7 7099
On donne deux droites parallèles et un point \(A\) entre les deux droites. Dénombrer et tracer les cercles passant ...
exo7 71
Déterminer l’ensemble des points \(M\) du plan complexe, d’affixe \(z\) tels que ...
exo7 7101
Soient \(C\) et \(C'\) deux cercles sécants de centres ...
exo7 7102
On se donne un carré, et on cherche à construire un carré de même centre, aux côtés parallèles, et d’aire deux fois plus petite, comme ci-dessous: ...
exo7 7104
On considère un carré \(ABCD\) et on place quatre points \(E\), ...
exo7 7105
Sur les côtés \([AB]\) et \([BC]\) d’un carré direct ...
exo7 7113
Soit \(ABC\) un triangle et \(D\) le projeté orthogonal de ...
exo7 7114
Soit \(ABC\) un triangle isocèle en \(A\), ...
exo7 7115
Soit \(ABC\) un triangle direct non isocèle rectangle. Soient \(ARB\), ...
exo7 7117
Soient \(ABCD\) et \(AB'C'D'\) des carrés de même orientation et de c ...
exo7 7119
On donne un segment \([AB]\) et un réel \(\alpha \in ]-\pi,\pi[\). On suppose que ...
exo7 7120
Construire un octogone convexe régulier dont un des côtés est un segment \([AB]\) donné.
exo7 7123
Soient \(\mathcal C_1\) et \(\mathcal C_2\) deux cercles sécants en ...
exo7 7124
Les bissectrices intérieure et extérieure en \(A\) d’un triangle \(ABC\) non isoc ...
exo7 7125
Soient \(\mathcal C\) et \(\mathcal C'\) deux cercles tangents en un point ...
exo7 7126
Soit \(ABC\) un triangle direct, et \(P\), \(Q\) ...
exo7 7129
Soient \(\mathcal C_1\) et \(\mathcal C_2\) deux cercles se coupant en ...
exo7 7130
On donne deux segments \([AB]\) et \([CD]\) non parallèles et de longueur différe ...
exo7 7131
Soit \(ABC\) un triangle non rectangle et \(A'\), ...
exo7 7134
Soit \(\Gamma\) un cercle, \(O\) son centre et ...
exo7 7135
Soit \(\mathcal D\) une droite et \(A\) et \(B\) ...
exo7 7136
Soit \(ABCD\) un quadrilatère convexe. On note \(\mathcal B_A\) (resp. ...
exo7 7137
Soit \(ABCD\) un quadrilatère convexe. Que dire du quadrilatère formé par les intersections des médiatrices des qu ...
exo7 7138
On considère un carré \(ABCD\) et on place quatre points \(E\), ...
exo7 7140
Soit \(ABCD\) un quadrilatère convexe inscriptible dont les diagonales sont perpendiculaires, et soit ...
exo7 7141
Soit \(\mathcal C\) un cercle et \(P\) un point du plan.
exo7 7142
Soient deux cercles se coupant en deux points distincts \(A\) et \(B\), et ...
exo7 7143
Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\), et ...
exo7 7144
Soit \(\mathcal C\) un cercle et \(P\) un point du plan. On considère une droite ...
exo7 7149
Soit \(ABC\) un triangle tel que \(C\) soit l’image de ...
exo7 7156
Soient \(M\), \(M_1\), \(M_2\), ...
exo7 7164
Soit \(ABC\) un triangle équilatéral direct, et \(M\) un point. On note ...
exo7 7166
Soit \(M_1M_2M_3M_4\) un parallélogramme direct du plan, de centre \(O\), et ...
exo7 7168
Soit \(ABC\) un triangle non isocèle en \(A\). La bissectrice intérieure ...
exo7 7189
Soit \(E\) l’ensemble des droites du plan. Le parallélisme et l’orthogonalité sont-elles des relations réflexives, ...
exo7 7249
Soient \(P\), \(Q\), \(R\) trois points du plan. ...
exo7 7250
Un diagramme de Voronoï est une famille de parties du plan (ou de l’espace, mais dans cet exercice on se limitera au plan) et de points as ...
exo7 7251
Soit \((A_i, P_i)_{i \in I}\) un diagramme de Voronoï. Si \(i, j \in I\) avec ...
exo7 7252
Que dire de la frontière entre deux cellules de Voronoï ?
exo7 7254
On rappelle qu’un quadrilatère d’un espace euclidien \(E\) est un parallélogramme si ses diagonales se co ...
exo7 7262
Soit \(E\) un plan et \((0,\vec{\imath},\vec{\jmath})\) un repère. On considère l ...
exo7 7263
Soit \(E\) un plan et \((0,\vec{\imath},\vec{\jmath})\) un repère. Soient ...
exo7 7264
Soit \(E\) un plan euclidien orienté muni d’un repère orthonormé direct ...