Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Géométrie 1
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Ce chapitre vise à consolider les acquis des années antérieures sur les notions de vecteurs, droites et plans dans le plan et l’espace géométriques. En mathématiques, il sert essentiellement de support intuitif et introductif à l’algèbre linéaire ; il permet aussi de présenter le produit scalaire qui sera étudié dans des espaces plus généraux en seconde année. Enfin, ce chapitre sert également aux sciences physiques et à la géologie.
En mathématiques, une épreuve écrite ou orale ne doit pas reposer sur ce chapitre.
Dans tout ce chapitre, on se place dans le plan et l’espace géométriques formés de points et dans lesquels plusieurs notions et résultats sont supposés connus : distance entre deux points, parallélisme, perpendicularité, angle géométrique, angle orienté, angle droit, cosinus d’un angle géométrique, trigonométrie du triangle rectangle.
- a) Vecteurs du plan et de l’espace. 50
- b) Déterminant 17
- c) Droites et cercles dans le plan 168
- d) Droites et plans dans l’espace 122
- e) Projection orthogonale 61
- f) Produit scalaire 78
Classification linéaire par un perceptron
Expliquer à l’aide d’un graphique ce que réalise le réseau de neurones suivant :
Convolution 2D à la main — mode valid
On considère l’image \(I\) et le noyau \(K\) suivants : ...
exo7 1012
Déterminer une base de \(\left\{ (x, y, z) \in \Rr^3 / x + y + z = 0\right\}\).
exo7 1144
Soit \((a_1,a_2,a_3)\in(\mathbb{K})^{3}\). On note \(j=e^{\frac{2i\pi}{3}}\), et ...
exo7 1157
Soit \(A \in M_3 (\Rr)\) anti-symétrique. Calculer \(\det (A)\). Ce résultat vaut ...
exo7 131
\(x\), \(y\), \(z\) étant des nombres réels, rés ...
exo7 135
On définit les cinq ensembles suivants : ...
exo7 1451
Pour quelles valeurs de \(\lambda\) les formes bilinéaires ci-dessous définissent-elles un produit scalaire sur ...
exo7 1453
Sur \(\R_{3}[X]\) on considère les formes bilinéaires suivantes. Dire lesquelles sont des produits scalaire. ...
exo7 1454
Pour quelles valeurs de \(\lambda\) les formes bilinéaires ci-dessous définissent-elles un produit scalaire sur ...
exo7 1455
Soient \(x = (x_1, x_2)\) et \(y = (y_1, y_2)\) appartenant à ...
exo7 1456
Soient \(x,y\) et \(z\) trois réels tels que ...
exo7 1462
Soit \(E = \left\{ f : \Rr \rightarrow \Rr \text{ continue $2\pi$-périodique}\right\}\). Montrer que ...
exo7 1464
Soit \(E\) un espace euclidien et \(f\) et \(g\) ...
exo7 1466
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\) et ...
exo7 1469
Soit \(E\) un espace euclidien et \(f\) et \(g\) ...
exo7 1470
Soit \(E\) un espace euclidien, montrer que : ...
exo7 1474
Soit \((E, \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1477
Déterminer la matrice dans la base canonique de \(\R^{3}\) de la projection orthogonale sur le plan d’équation ...
exo7 1482
Dans \(\R ^3\) muni du produit scalaire euclidien canonique, donner la matrice de la projection orthogonale sur le ...
exo7 1486
Soient \(E\) un espace euclidien, \(u\) un vecteur non nul et ...
exo7 1503
Orthonormaliser dans \(\Rr^{3}\) la famille \(x_{1} = (1, -2, 2)\), ...
exo7 1530
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(3 .\)
exo7 1536
Soit \(\, E\,\) un espace euclidien de dimension \(\, 3\, .\)
exo7 156
Dans le plan, on considère trois droites \(\Delta_{1},\Delta_{2},\Delta_{3}\) formant un “vrai” triangle : elles n ...
exo7 1565
Soit \(A=(a_{i,j})\in \mathcal{O}(n,\R) .\) Montrer pour tout ...
exo7 1569
Soit \(A = (a_{i, j}) \in O_{n} (\Rr)\). Montrer que ...
exo7 1675
Soit l’endomorphisme \(f\) de \(\Rr^3\) canoniquement associé à la matrice ...
exo7 1745
Dans \(\R^2\) ou \(\R^3\) euclidien muni d’une b.o.n., représenter les ensembles ...
exo7 1804
Soit \(a\in {\Rr}^{2}\) fixé ; l’application ...
exo7 1828
Trouver le point du plan \((2x-y + z = 16)\) le plus proche de l’origine.
exo7 1922
Quel est le volume délimité par deux cylindres de révolution d’axes \((Ox)\) et ...
exo7 1956
Soit \(P\) un plan muni d’un repère \(\mathcal{R}(O,\vec{i},\vec{j})\), les point ...
exo7 1957
Les trois points \(A\), \(B\) et \(C\) de ...
exo7 1958
Dans l’exercice suivant, on considère des couples de deux droites \(D_1\) et ...
exo7 1959
On considère les deux droites du plan \(D : 2x-3y+4 = 0\) et ...
exo7 1960
On considère le triangle \(ABC\) dont les côtés ont pour équations ...
exo7 1961
On considère dans \(P\) trois points \(A\), ...
exo7 1962
Dans le triangle \(ABC\), on considère trois points \(P, Q, R\), sur les côtés ...
exo7 1963
Soient \((A_1,A_2,A_3)\) et \((B_1,B_2,B_3)\) deux systèmes de trois points align ...
exo7 1964
Dans le triangle \(ABC\), on considère trois points \(P, Q, R\), sur les droites ...
exo7 1971
Une bimédiane d’un tétraèdre est une droite qui passe par les milieux de deux arêtes opposées. Montrer que les trois bimédianes sont concourantes. ...
exo7 1972
Soient \(A, B, C\) trois points non alignés d’un plan affine. Déterminer l’ensemble des points ayant mêmes coordon ...
exo7 1974
Soient \((D_{i})_{i = 1 \ldots 4}\) quatre droites du plan affine sécantes deux à deux en six points distincts. Si ...
exo7 1975
Soient \((D_{i} : u_{i}x + v_{i}y + h_{i} = 0)_{i = 1 \ldots 3}\) trois droites du plan affine. Montrer qu’elles s ...
exo7 1985
Soient \(a\) et \(b\) deux vecteurs de ...
exo7 1991
On considère les droites \(D : x+2y=5\) et \(D' : 3x- y = 1\) et on note ...
exo7 1992
On considère la famille des droites \(D_{\lambda} : x + \lambda y + 1 =0\), où ...
exo7 1993
On considère les trois points de \(P\) : \(A(2,-3)\), ...
exo7 1994
Calculer les angles :