Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
a) Vecteurs du plan et de l’espace.
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Vecteurs « géométriques » du plan et de l’espace. Un vecteur non nul est caractérisé par sa direction, son sens, sa norme. Vecteur directeur d’une droite. Vecteur nul. Notation $\overrightarrow{0}$. Étant donné un vecteur $\overrightarrow{u}$ et un point $O$, il existe un et un seul point $M$ tel que $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{u}$. | Un vecteur peut être représenté par deux points du plan. La notion de relation d’équivalence entre bipoints n’est pas un attendu du programme. |
Opérations sur les vecteurs définies géométriquement : addition et multiplication par un nombre réel. Relation de Chasles. Colinéarité. Coplanarité. | On pourra faire le lien avec le théorème de Thalès. |
Bases et repères du plan et de l’espace. | Une base du plan (resp. de l’espace) est la donnée de deux (resp. trois) vecteurs non colinéaires (resp. non coplanaires). |
Résultat admis : existence et unicité des coordonnées d’un vecteur dans une base du plan ou de l’espace. | Ce résultat sera repris et formalisé dans le chapitre Algèbre linéaire 3 – Espace vectoriel $\mathbb{K}^n$ et sous-espaces vectoriels. |
Une base orthonormée du plan (resp. de l’espace) est la donnée de deux (resp. trois) vecteurs orthogonaux de norme 1 ; un repère orthonormé est la donné d’un point et d’une base orthonormée. |
exo7 1963
Soient \((A_1,A_2,A_3)\) et \((B_1,B_2,B_3)\) deux systèmes de trois points align ...
exo7 1972
Soient \(A, B, C\) trois points non alignés d’un plan affine. Déterminer l’ensemble des points ayant mêmes coordon ...
exo7 1993
On considère les trois points de \(P\) : \(A(2,-3)\), ...
exo7 1995
Soit \((0, \vec{i}, \vec{j})\) un repère du plan. Déterminer l’expression analytique dans ce repère de la réflexio ...
exo7 2001
Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan et ...
exo7 2016
On considère les cinq points suivants: \(A(1,2,-1)\), \(B(3,2,0)\), ...
exo7 2036
Soit \(P\) un plan muni d’un repère ...
exo7 2038
Soit \(f\) la transformation de l’espace définie analytiquement par ...
exo7 2040
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec{OI},\vec{OJ})\).
exo7 2780
Soient dans \(\mathbb{R}^3\) les vecteurs \(\vec{v_1}= (1,1,0)\), ...
exo7 4859
Soient \(I,J,K\) trois points du plan. Montrer l’équivalence entre les trois propriétés :
a) ...
exo7 4865
Soit \(ABCD\) un parallélogramme, et \(M \in (ABC)\). On note ...
exo7 4889
Soit \(ABC\) un triangle et trois points \(P \in (AB)\), ...
exo7 4894
Dans le plan, on considère :
– trois points non alignés \(A,B,C\).
– trois points alignés ...
exo7 4945
Soient \({\cal T},{\cal T}'\) deux torseurs de sommes non nulles, orthogonales. Montrer que le comoment de ...
exo7 4950
Soit \(ABC\) un triangle et \(\mathcal{C}\) son cercle circonscrit. Soit ...
exo7 4957
Soit \(E\) un plan affine euclidien muni d’un repère orthonormé d’origine \(O\). ...
exo7 4958
Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points distinct ...
exo7 4959
Soient \(A,B,C,D,E\) cinq points de l’espace et \(k \in \R\).
Déterminer l ...
exo7 4989
Soit \(\Gamma\) un cercle de centre \(O\) et de rayon 1, ...
exo7 5198
Soit \((ABDC)\) un parallélogramme. Déterminer les coordonnées de \(D\) dans le r ...
exo7 5202
Soient \(n\) un entier supérieur ou égal à ...
exo7 5206
Montrer qu’il n’existe pas de triangle équilatéral dont les sommets appartiennent aux points d’intersection des lignes d’une feuille blanche quadri ...
exo7 5507
Dans \(\Rr^3\) affine, déterminer le réel \(a\) pour que les droites ...
exo7 7053
On donne deux points \(O\) et \(I\), avec ...
exo7 7068
Soit \(ABC\) un triangle avec \(AB = 2 BC\) et ...
exo7 7078
On donne deux points \(A\) et \(B\). Soit ...
exo7 7079
À quelle condition sur quatre points \(P_1, ... P_4\) existe-t-il une homothétie ...
exo7 7086
Soit \(ABC\) un triangle. On note \(G\), ...
exo7 7087
Soient \([AB]\) et \([CD]\) deux segments parallèles de longueurs différentes. Mo ...
exo7 7090
Soit \(ABCD\) un parallélogramme, et \(M\) un point sur la diagonale ...
exo7 7104
On considère un carré \(ABCD\) et on place quatre points \(E\), ...
exo7 7115
Soit \(ABC\) un triangle direct non isocèle rectangle. Soient \(ARB\), ...
exo7 7166
Soit \(M_1M_2M_3M_4\) un parallélogramme direct du plan, de centre \(O\), et ...
exo7 7254
On rappelle qu’un quadrilatère d’un espace euclidien \(E\) est un parallélogramme si ses diagonales se co ...
exo7 7274
On rappelle que l’homothétie de centre \(O\) et de rapport \(\lambda\), ...
exo7 7278
Étant donnés trois points \(A\), \(B\), ...
exo7 7282
Étant données trois longueurs \(a\), \(b\) et ...
exo7 7288
La notion de «construction au compas» est un peu ambiguë. On distingue:
le compas traçant, qui permet, à partir de deux po ...
exo7 7427
Dans un plan affine, soit \(ABC\) et \(A'B'C'\) deux triangles de cen ...
exo7 7430
On considère dans l’espace affine \(\Rr^2\) un triangle non aplati \(ABC\). Soit ...
exo7 7453
Dans un espace vectoriel euclidien, deux sous-espaces vectoriels non nuls orthogonaux sont-ils toujours en somme directe ?
exo7 7457
Soit \(A\) et \(B\) deux points d’un plan affine euclidien. Déterminer suivant la ...
exo7 7461
Soit \(E\) un plan affine euclidien muni d’un repère cartésien orthonormé. Soient ...
exo7 7464
Soit \(C\) un cercle et \(\vec{u}\) un vecteur. Construire une corde ...
exo7 7474
Soit \(E\) un plan affine euclidien muni d’un repère cartésien orthonormé. Soient ...
exo7 7495
Soit \(A(0,0)\) et \(B(3,0)\) deux points d’un plan affine euclidien muni d’un re ...
exo7 7499
Dans un espace affine, quel est le sens de la notation \(1/3\ A+1/3\ B+1/3\ C\) où ...
exo7 7503
On considère dans le plan euclidien orienté un point \(A\) et la rotation \(r\) d ...
exo7 897
Soient dans \(\Rr^3\) les vecteurs \(\vec{v_1}(1,1,0)\), ...