Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
c) Théorème fondamental de l’Analyse
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Théorème : si $f$ est continue sur un intervalle $I$ et $a$ un point de $I$, alors la fonction $F$ définie sur $I$ par $F(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est l’unique primitive de $f$ sur $I$ s’annulant en $a$. | On remarquera que pour $f$ de classe $\mathscr{C}^1$ sur un intervalle $I$ et $a$ un point de $I$, $f(x) - f(a) = \int_a^x f'(t)\,\mathrm{d}t$. |
Pour toute fonction $f$ continue sur $I$, si $F$ est une primitive de $f$, pour tous $a$ et $b$ de $I$, on a : $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = F(b) - F(a)$. | Notation : $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = [F(t)]_a^b$ |
exo7 4082
Trouver les fonctions \(f,g\) continues vérifiant : ...
exo7 4249
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) continue et ...
exo7 4253
Soient \({f,g} : {[a,b]} \to {\R}\) continues, \(f\) décroissante, et ...
exo7 4259
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R^{+*}}\) continue.
exo7 4261
Soit \(E = \mathcal{C}([a,b])\), et ...
exo7 4291
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to {\R^+}\) continue telle que ...
exo7 4297
Soit \(f:\R \to \R\) continue par morceaux telle que ...
exo7 4298
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R\) continue telle que ...
exo7 4332
Déterminer les fonctions \(f \in \mathcal{C}^0(\R,\R)\) telles que : ...
exo7 4349
Soit \(f:\R \to \R\) continue. On pose ...
exo7 4666
On note : \(E^{\phantom 1} = \{\text{fonctions continues }2\pi\text{-périodiques }f : \R \to \C\}\) ;
...
exo7 4667
Soit \(f\) à valeurs réelles, de classe \(\mathcal{C}^{2}\), ...
exo7 5087
Existence et calcul de \(\int_{0}^{\sin^2x}\Arcsin\sqrt{t}\;dt+\int_{0}^{\cos^2x}\Arccos\sqrt{t}\;dt\).
exo7 5409
Soit \(f\in C^2([a,b],\Rr)\cap D^3(]a,b[,\Rr)\). Montrer qu’il existe ...
exo7 5447
Soit \(f\) une fonction de classe \(C^2\) sur ...
exo7 5450
Etude complète de la fonction \(f(x)=\frac{1}{x-1}\int_{1}^{x}\frac{t^2}{\sqrt{1+t^8}}\;dt\).
exo7 5451
Pour \(x\) réel, on pose \(f(x)=e^{-x^2}\int_{0}^{x}e^{t^2}\;dt\).
exo7 5453
Soit \(f\) une fonction continue sur \([a,b]\). Pour ...
exo7 5460
Etude complète de \(F(x)=\int_{x}^{2x}\frac{dt}{\sqrt{t^4+t^2+1}}\).
exo7 5461
Trouver toutes les applications continues sur \(\Rr\) vérifiant : ...
exo7 5465
Soit \(f(t)=\frac{t^2}{e^t-1}\) si \(t\neq0\) et ...
exo7 5674
\(E =C^0(\Rr,\Rr)\). Pour \(f\) élément de \(E\) ...
exo7 5766
Pour \(x\in\Rr\), on pose ...
exo7 799
Soit \(\varphi\) une fonction bornée sur \([a,b]\) ; comparer les assertions suiv ...
exo7 801
Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions intégrables sur ...
exo7 804
Soit \(f\) deux fois dérivable sur \([a,b]\), vérifiant ...
exo7 977
Soit \(E=C({\Rr}^{+},{\Rr})\) et \(U : E \rightarrow E\) définie par ...