Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
a) Limites
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Limite d’une fonction en un point. | La définition d’une limite par $(\varepsilon, \alpha)$ est présentée, mais les détails techniques ne sont pas un attendu du programme. |
Limite à droite, limite à gauche. Limite en $+\infty$ ou $-\infty$. Si $(u_n)$ tend vers $a$ et si la limite de $f$ en $a$ est $b$, alors la suite $(f(u_n))$ tend vers $b$. Opérations sur les limites. Limite de fonctions composées. | |
Résultats fondamentaux sur les limites et inégalités : • Signe d’une fonction de limite non nulle. • Passage à la limite dans une inégalité large. • Théorème dit « des gendarmes » et extension aux limites infinies. Théorème de la limite monotone. | Une fonction monotone sur un intervalle ouvert admet une limite finie ou infinie aux bornes de l’intervalle. |
Calcul de limite en l'origine par coordonnées polaires
Soit la fonction \(g : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
exo7 1213
À quelle condition sur \(f\) et \(g\) a-t-on ...
exo7 1214
Soient \(f\) et \(g\) équivalentes au voisinage de ...
exo7 1216
Étudier en \(+ \infty\) et \(-\infty\) la fonction ...
exo7 1217
Calculer les limites de
exo7 1219
Calculer \(\lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^3 + x^2} - \sqrt[3]{x^3 - x^2}\)
exo7 1226
Soit \(f\) une application continue de \([a,b]\) à valeurs dans ...
exo7 1256
Calculer pour \(a\in \Rr^{+*}\) : ...
exo7 1258
Soit \(x\in \Rr^{+},\) on définit \((u_{n}(x))_{n}\) et ...
exo7 1259
Soit \(n\in \Nn^{*},x\neq 0,\) on définit : ...
exo7 1265
Déterminer:
exo7 1284
Soit \(f\) une application continue de \({\Rr}^{+}\) dans ...
exo7 1288
Soit \(f\) une application continue par morceaux de \({\Rr}^{+}\) dans ...
exo7 1301
Calculer : ...
exo7 1730
Soit \(f\) une fonction \(C^2\) sur \(\Rr\) conv ...
exo7 1732
Soit \(f \in C^2 (\Rr)\) convexe.
exo7 1765
Soit \(f:\R^d\rightarrow \R\) une fonction continue telle que ...
exo7 1807
Soient \(\alpha>0\) et \(f~:\,\R^2 \to \R\) définie par ...
exo7 1906
Soit \(s_n=\Sigma_{k=1}^n1/k\) et \(x_n=\cos (s_n)\). Montrer qu’il n’existe pas ...
exo7 2317
Soit \(f : [0,1]\to \Rr\) une fonction continue.
exo7 2328
Soient \(a \neq 0\) un réel, et \(y>x>0\).
exo7 2330
Fonction Gamma - Pour tout \(x>0\), on pose ...
exo7 2337
Soit \(\varphi\) la fonction définie sur \(\left[0,1\right[\) par ...
exo7 2621
Pour chacune des suites \((u_n)_n\) dans le plan \(\R^2\) ci-dessous, placer quel ...
exo7 3519
Soit \(E = \{ f : \R \to \R \text{ continues}\) tq \(f(x)\to 0\) lorsque ...
exo7 3845
Soit \(f : \R \to \R\) et \(T > 0\). On suppose que ...
exo7 3847
Pour \(x \in {[0,1[}\), on note \(x = \sum_{k=1}^\infty \frac{x_k}{10^k}\) le dév ...
exo7 3848
Soit \(f : \R \to \R\) continue telle que ...
exo7 3866
Soit \(f : \R \to \R\) uniformément continue telle que \(f(n) \to +\infty\) lorsq ...
exo7 3867
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) telle que : ...
exo7 3873
Soit \(f : \R \to \R\) une fonction uniformément continue telle que pour tout ...
exo7 3875
Soit \(f : {]0,+\infty[} \to {\R}\) croissante telle que ...
exo7 3876
On pose : ...
exo7 3877
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) une fonction bornée.
On note ...
exo7 3878
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R}\) monotone. Pour \(x \in {]a,b[}\), on pose ...
exo7 3880
Soit \(f : {]0,1]} \to {\R}\) uniformément continue. Pour \(x \in {]0,1]}\) on po ...
exo7 3881
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) continue telle que \(f_{|\Q}\) est strictement croissa ...
exo7 3883
Soit \(f : {[0,1]} \to {[0,1]}\) croissante. Montrer qu’il existe ...
exo7 3884
Soit \(f : \R \to \R\) continue telle que : ...
exo7 3885
Soit \(f : \R \to \R\) vérifiant : ...
exo7 3886
Montrer que : \(\forall\ x > 0,\ x - \frac {x^2}2 < \ln(1+x) < x\).
En déduire ...
exo7 3893
Calculer \(\sum_{k=0}^n\,\ch(kx)\).
exo7 3895
Soit \(x \in \R^*\). Vérifier que \(\tanh x = 2\coth 2x - \coth x\). En déduire l ...
exo7 3896
Soit \(x \in \R^*\). Vérifier que \(\frac1{\sh x} = \coth \frac x2 - \coth x\). E ...
exo7 3904
Soit \({f} : {\R^{+*}} \to {\R^{+*}}\) telle que : ...
exo7 3930
A l’aide d’un changement de variable judicieux, trouver \(\lim_{x\to0^+} \frac {\arccos(1-x)}{\sqrt x}\).
exo7 3937
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable et bornée telle que ...
exo7 3938
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable telle que \(f'(x) \to \ell\) lorsque ...
exo7 3939
Soit \(f : {\R^+} \to \R\) continue telle que ...
exo7 3943
Trouver \(\lim_{x\to\pi/4} \frac {\ln(\sin x) - \ln(\cos x)}{\sin x - \cos x}\).