Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
Analyse 5 – Suites réelles
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Suites majorées, minorées, bornées. Suites monotones. | |
Convergence, divergence. Limite infinie. | La définition d’une limite par $(\varepsilon, n_0)$ est présentée, mais aucune technicité ne pourra être exigée en la matière. |
Comparaison de la convergence et de la limite d’une suite $(u_n)$ avec celles des deux suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$. | Utilisation de cette comparaison pour justifier une divergence. La notion générale de suite extraite est hors programme. |
Opérations sur les limites. | |
Résultats fondamentaux sur les limites et inégalités : • Signe d’une suite de limite non nulle. • Passage à la limite dans une inégalité large. • Théorème d’encadrement, dit « des gendarmes », et extension aux limites infinies. | |
Théorème de la limite monotone. | Toute suite réelle monotone admet une limite finie ou infinie. |
Suites adjacentes et théorème des suites adjacentes. | |
Exemples d’étude de suites du type $u_{n+1} = f(u_n)$. | Un plan d’étude détaillé sera toujours proposé. Il pourra commencer par la détermination d’un intervalle stable. Aucun théorème général relatif à ce type de suites n’est exigible des étudiants. L’étude numérique (par itération) et graphique sont présentées comme outils d’étude et de formation de conjectures. L’objectif est alors l’étude de la monotonie et de la convergence de telles suites dans les cas simples de fonctions $f$ monotones. |
Croissances comparées entre les suites factorielle, puissance ($n^\alpha$ avec $\alpha > 0$), géométriques ($a^n$ avec $a > 1$). | |
Suites équivalentes, notation $u_n \sim v_n$. L’équivalence est compatible avec la multiplication, la division et l’élévation à une puissance constante. Utilisation des équivalents pour la recherche de limites. | Le développement sur les équivalents doit être modeste et se limiter aux suites dont le terme général ne s’annule pas à partir d’un certain rang. |
exo7 5251
Soit \((u_n)\) une suite de réels éléments de \(]0,1[\) telle que ...
exo7 5253
Montrer que \(\sum_{k=0}^{n}k!\sim n!\).
exo7 5254
Soient \(u\) et \(v\) deux suites réelles strictement positives. Pour ...
exo7 5256
Soit \(u\) la suite définie par \(u_0=\frac{\pi}{2}\) et, ...
exo7 526
Soit \((u_{n})_{n\in \Nn}\) une suite réelle telle que ...
exo7 527
Donner un exemple de suite bornée divergente, puis de suite divergente telle que ...
exo7 528
Que peut-on dire des nombres réels \(a\) et \(b\) si ...
exo7 529
Étudier la suite $(u_n)$ définie par~: $$u_n= \begin{cases} 0 & \text{ si } $n$ \text{ est premier }\cr 67+1/n & \text{ sinon }.\cr \end{cases}$$ ...
exo7 530
On donne la suite \((u_n)\) définie par : ...
exo7 531
Soit \((u_n)\), \((v_n)\), \((w_n)\) trois suite ...
exo7 5316
Soient \(p\) un entier naturel et \(a\) un réel. Donner le développement de ...
exo7 532
Soit \(\alpha\) un nombre irrationnel positif et \((p_n)\) et ...
exo7 533
Étudier la suite \(u_n=\ln(1+\ln(2+\ln(3+\cdots+\ln(n-1+\ln n)\cdots)))\).
exo7 534
Montrer que pour \(n\geq1\), l’équation \(x^n+x^{n-1}+x^2+x-{n+1 \over n}=0\) adm ...
exo7 535
Un ivrogne part à un instant donné d’un point donné. À chaque seconde, il fait un pas dans une direction inconnue (et qui peut changer de façon arb ...
exo7 536
Soit \((u_n)\) la suite réelle définie par récurrence en posant \(u_0=1\) et ...
exo7 537
Etudier la suite \((u_n)\) définie par ...
exo7 538
Étudier les suites :
exo7 539
On considère la fonction \(f : \R \longrightarrow \R\) définie par ...
exo7 540
Soit \(a\in \mathbb{R}\). On considère la suite \((u_n)\) définie par ...
exo7 541
Étudier la suite définie par \(u_{n+1}=1+\frac{u_n^3}{10}\) dans les cas suivants :
exo7 542
Étudier la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=0\) et ...
exo7 5425
Etudier la suite \((u_n)\) dans chacun des cas suivants :
...
exo7 543
Étudier la suite définie par \(u_{n+1}= e^{-u_n}\) et \(u_0=0\).
exo7 5432
Développement asymptotique à la précision \(\frac{1}{n^3}\) de ...
exo7 5435
Soit \(u_0\in]0,\frac{\pi}{2}]\). Pour \(n\in\Nn\), on pose ...
exo7 5436
Soit \(u\) la suite définie par la donnée de son premier terme \(u_0>0\) et la ...
exo7 544
Étudier la suite définie par \(u_{n+1}= \cos u_n\) et \(u_0=-8\).
exo7 5444
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues et strictement positives sur ...
exo7 5445
Soit \(f\) une application de classe \(C^1\) sur ...
exo7 5446
Limites de ...
exo7 545
Étudier la suite définie par \(u_{n+1}= \frac{2u_n^3+7}{3(u_n^2+1)}\) et ...
exo7 5457
Partie principale quand \(n\) tend vers \(+\infty\) de ...
exo7 5459
Déterminer les limites quand \(n\) tend vers \(+\infty\) de
...
exo7 546
Étudier la suite définie par \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=\frac{-u_n^2-u_n+24}{6}\) pou ...
exo7 547
Étudier la suite définie par \(u_0=0\) et ...
exo7 5474
Pour \(n\) entier naturel, on pose \(W_n=\int_{0}^{\pi/2}\sin^nx\;dx\).
exo7 5475
Pour \(n\) entier naturel, on pose \(In=\int_{0}^{\pi/4}\tan^nx\;dx\).
exo7 548
Étudier la suite définie par \(u_0=0\) et ...
exo7 549
Étudier la suite définie par \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=\ln(e-1+u_n)\).
exo7 550
Discuter suivant les valeurs de \(u_0\) la nature de la suite ...
exo7 551
Soient \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs ; on définit une suite ...
exo7 552
Étudier suivant les valeurs données à \(u_0\) appartenant à \(\mathbb{C}\) les su ...
exo7 553
Soit \(f\colon [0,1]\rightarrow [0,1]\). On considère \(a\in [0,1]\) et la suite ...
exo7 554
Étudier la suite définie par \(u_{n+1}= (1-u_n)^2\) (discuter suivant les valeurs de ...
exo7 555
Soit \(f(x)=-x^3+x^2-x+1\) et \(a\in [0,1]\). Étudier la suite définie par ...
exo7 556
Étudier la suite définie par \(u_0=0\) et ...
exo7 557
Étudier la suite définie par récurrence par \(u_0=a\) et \(u_{n+1}=\cos u_n\), où ...
exo7 559
On donne \(A\geq 0\), \(B\geq 0\), \(u_0\geq 0\) ...