Programme de mathématiques BCPST, seconde année
Analyse 1 – Séries réelles
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Sommes partielles, convergence d’une série, somme d’une série convergente. | La série est notée $\sum\limits_{n\geq n_0} u_n$ ou plus succinctement $\sum u_n$. En cas de convergence, la somme de la série est notée $\sum\limits_{n=n_0}^{+\infty} u_n$. La terminologie de « famille sommable » n’est pas donnée. La notion de reste d’une série est hors programme. |
Combinaison linéaire de séries convergentes. | |
Thèorèmes de convergence pour deux séries à termes positifs $u_n$ et $v_n$ : • théorème de comparaison si $u_n\leq v_n$ à partir d’un certain rang, | Tout autre critère de convergence est hors programme. |
• si $u_n\sim v_n$, alors les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont de même nature. | Les résultats relatifs aux restes et sommes partielles sont hors programme. |
Convergence et somme de la série géométrique $\sum\limits_{n\geq 0} q^n$ (pour $\lvert q\rvert<1$) et des séries « dérivées » $\sum\limits_{n\geq 1} nq^{n-1}$ et $\sum\limits_{n\geq 2} n(n-1)q^{n-2}$. | |
Convergence et somme de la série exponentielle $\sum\limits_{n\geq 0}\dfrac{x^n}{n!}$. | Résultat admis. |
Convergence de $\sum\limits_{n\geq 1}\dfrac{1}{n^2}$ et divergence de $\sum\limits_{n\geq 1}\dfrac{1}{n}$. | L’étude générale des séries de Riemann est hors programme. |
Convergence absolue. | La convergence absolue est présentée comme une condition suffisante pour obtenir la convergence de la série. En vue des applications probabilistes, on admet que la valeur de la somme d’une série absolument convergente ne dépend pas de l’ordre d’énumération de ses termes. L’étude de séries semi-convergentes est hors programme. |
exo7 4459
Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs convergente.
Étudier la convergence de la série de terme géné ...
exo7 4460
Soit \((u_n)\) une suite réelle positive décroissante. On pose ...
exo7 4461
Soit \((u_n)\) définie par : \(u_1 \in \R\), ...
exo7 4462
Soit \((x_n)\) une suite définie par : \(x_0 > 0\), ...
exo7 4463
On considère la suite \((u_n)\) définie par : \(0 < u_0 < 1\) et ...
exo7 4464
Soit \((u_n)\) une suite définie par la donnée de \(u_0 \in \R^*\) et la relation ...
exo7 4465
On se donne \(u_1\) et \(a\) deux réels strictement positifs et l’on définit par ...
exo7 4466
Soit \(\alpha > 0\). On pose ...
exo7 4467
Soient \(\sum a_n\), \(\sum b_n\), \(\sum c_n\) ...
exo7 4468
Soient \(a \in {[0,1[}\). Écrire \(\frac1{(1-a)^2}\) comme produit de deux séries ...
exo7 4469
Pour \(n \in \N\) on note \(T_n\) le nombre de manières de décomposer ...
exo7 4470
Soit \(\sum u_n\) une série convergente. On pose ...
exo7 4471
Soit \((a_n)\) une suite bornée telle que pour tout entier \(p \ge 2\) : ...
exo7 4472
Soit \(\sum_{n\ge1} x_n\) une série absolument convergente telle que pour tout entier ...
exo7 4473
Soient \(k,p \in \N\) avec \(k \le p\). Montrer que ...
exo7 4474
Soit \((u_n)\) une série convergente à termes positifs décroissants.
exo7 4476
Soit \((a_n)\) une suite réelle positive et \((u_n)\) la suite définie par la rel ...
exo7 4479
Soit \(\cal S\) l’ensemble des suites croissantes d’entiers \((q_i)\) telles que ...
exo7 4480
Montrer qu’il existe \(C\in\R\) tel que ...
exo7 4481
Soit \((u_n)\) une suite de complexes telle que ...
exo7 4482
Soit \((u_n)\) une suite de complexes qui converge au sens de Césaro vers zéro.
Étudiez la suite de terme g ...
exo7 4483
Soient deux suites de termes généraux \(u_n\) et \(v_n\) définies par la donnée d ...
exo7 4484
On considère une suite \((a_n)\) de réels et on définit ...
exo7 4486
Soit \(P(n)=\max\{p \text{ premier},\, p\mid n\}\). Montrer que ...
exo7 4490
Étudier la finitude des sommes suivantes :
exo7 4491
Calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{k=n}^{+\infty}\frac1{k!}\).
exo7 4493
On pose \(a_{n,p} = \frac1{\strut n^2-p^2}\) si \(n\ne p\) et ...
exo7 4495
Soit \(z\in\C\) tel que \(|z| < 1\). Montrer que ...
exo7 4497
Soient \(a,b,c\in\N^*\). On pose ...
exo7 4498
Calculer les sommes suivantes : \(A = \sum_{(p,q)\in(\N^*)^2}\frac1{p^2q^2}\), ...
exo7 4528
On pose \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\arccos(\cos nx)}{n!}\).
exo7 4529
Soit \(f(a) = \sum_{n=0}^\infty e^{-a^2n^2}\) sous réserve de convergence ...
exo7 4539
Montrer, pour \(x > 0\) : ...
exo7 4548
Soit \((p_n)\) une suite d’entiers naturels, strictement croissante et telle que ...
exo7 4551
Pour \(x\in\R^+\) et \(n\in\N\), \(n\ge 2\) on p ...
exo7 4553
Soit \(S(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{1-t^n}\).
exo7 4559
Déterminer un équivalent au voisinage de \(0\) de ...
exo7 4560
[\(x\in\,]0,\pi[\), TPE MP 2005]
exo7 4564
Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. En donner une démonstration ou un contre-exemple.
exo7 4565
Trouver le rayon de convergence de la série entière \(\sum a_nz^n\) :
exo7 4580
Vérifier que pour \(x\in{]0,+\infty[}\) on a : ...
exo7 4585
Calculer \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3n+1}\cdotp\)
exo7 4586
Rayon et somme de \(\sum P(n)x^n\) où \(P\) est un polynôme de degré ...
exo7 4587
Calculer \(\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{2^n}\) et ...
exo7 4607
A l’aide d’un développement en série entière, montrer que ...
exo7 4610
Montrer que pour \(x \in {]-1,1[}\) : ...
exo7 4665
Déterminer la nature de la série de terme général \(u_n=(-1)^n \int_{t=0}^1 \cos (nt^2)\,d t\).
exo7 4715
On considère la fonction \(f\) : ...
exo7 5090
Calculer \(u_n=\Arctan\frac{2}{1^2}+\Arctan\frac{2}{2^2}+...+\Arctan\frac{2}{n^2}\) pour ...
exo7 5224
Calculer \(\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1^2+2^2+...+k^2}\).