Programme de mathématiques BCPST, seconde année
b) Diagonalisation
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Une famille finie de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre. Une famille finie obtenue par juxtaposition de bases de sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes est libre. | Un endomorphisme en dimension $n$ ou une matrice carrée $n\times n$ admet au plus $n$ valeurs propres deux à deux distinctes et la somme des dimensions des sous-espaces propres est inférieure ou égale à $n$. |
En dimension finie, endomorphisme diagonalisable. Matrice diagonalisable. Un endomorphisme en dimension $n$ ou une matrice carrée $n\times n$ est diagonalisable si, et seulement si, la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à $n$. | |
Un endomorphisme en dimension $n$ ou une matrice carrée $n\times n$ ayant $n$ valeurs propres distinctes est diagonalisable. | On fait observer que les sous-espaces propres sont de dimension 1. La notion de polynôme annulateur est hors programme. |
Diagonalisation et calcul de puissance
On considère la matrice \[A= \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}.\]
exo7 1080
Soient \((x_n)_{n \in \N}\) et \((y_n)_{n \in \N}\) deux suites réelles, vérifian ...
exo7 1104
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\Rr^2\) de matrice ...
exo7 1159
Soit \(\left( A,B\right) \in M_{n}({\Rr})^{2}\) tel que \(A^{2}+B^{2}=AB\) et ...
exo7 1544
Déterminer la nature des transformations de \(\R^{3}\) dont les matrices dans la base canonique sont les suivantes ...
exo7 1550
Dans l’espace vectoriel \(\R^{4}\) muni de son produit scalaire canonique, on considère l’endomorphisme ...
exo7 1551
A — Soit \(E\) un espace vectoriel et \(u\) et ...
exo7 1557
Que peut-on dire d’une matrice carrée réelle à la fois symétrique et orthogonale ? Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’endom ...
exo7 1560
Déterminer une matrice diagonale \(D\in\mathcal{M}_2(\Rr)\) et une matrice orthogonale ...
exo7 1576
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie ...
exo7 1578
Déterminer toutes les matrices \(A\) de \(\mathcal{M}_{2,2}(\R)\) telles que ...
exo7 1594
Soient \(J=\left(\begin{smallmatrix} 1&1\\1&1\end{smallmatrix}\right)\) et la matrice par blocs à coeffici ...
exo7 1597
Soit \(m \in \R\) et \(A_m\in M_3 (\R )\) la matrice ...
exo7 1600
Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphisme s d’un espace vectoriel ...
exo7 1604
Soient \(u\) et \(v\) deux endomorphismes de ...
exo7 1606
Soit \(J\) la matrice ...
exo7 1611
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et ...
exo7 1613
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\) et de base ...
exo7 1615
Soit \(A=\left (\begin{array}{cc} 1&4\\2&3\end{array}\right ).\) Trouver les valeurs propres de ...
exo7 1616
Soit \(A=\left (\begin{array}{ccc} 4&1&-1\\2&5&-2\\1&1&2\end{array}\right ).\) Diagonalise ...
exo7 1617
Soit \(A=\left (\begin{array}{ccc} 1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right ).\) Trouver, sans ...
exo7 1618
On considère les matrices suivantes ...
exo7 1620
On considère la matrice ...
exo7 1621
Soit \(T\) l’application linéaire de \(\mathbb R^3\) dans ...
exo7 1622
Lorsque c’est possible, diagonaliser les matrices suivantes :
...
exo7 1623
Pour quelles valeurs de \((a,b,c)\in\C^{2}\) la matrice ...
exo7 1624
Soit \(u\) l’application suivante : ...
exo7 1625
Soit \(A\in\mathcal{M}_{n}(\R)\). Montrer que si \(\lambda\) est une valeur propr ...
exo7 1626
Soit \(A_{t}\) la matrice ...
exo7 1627
Pour quelles valeurs de \(a\), \(b\) et \(c\) le ...
exo7 1629
Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables, triangularisables ? Si oui, les réduire. ...
exo7 1631
Soit \(P_{0}\) un polynôme de \(\R_{n}[X]\), et ...
exo7 1632
Soit \(\alpha\) et \(\beta\) deux réels, et ...
exo7 1633
Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables, triangularisables, sur \(\R\) et sur ...
exo7 1634
On considère un endomorphisme \(f\) d’un \(\C\) espace vectoriel ...
exo7 1635
La matrice suivante est-elle diagonalisable, triangularisable ? Effectuer explicitement la réduction. ...
exo7 1636
Soit ...
exo7 1637
On considère une matrice \(A\in\mathcal{M}_{nn}(\C)\) et l’application ...
exo7 1639
Soit \(A\) la matrice ...
exo7 1641
Déterminer les valeurs propres des matrices suivantes. Sont-elles diagonalisables, triangularisables ?
...
exo7 1642
Soit \(A\) la matrice ...
exo7 1643
Dans l’espace vectoriel \(\R_{3}[X]\), on considère l’application linéaire suivante : ...
exo7 1644
On considère un réel \(\alpha\) et l’application \(T_{\alpha}\) suivante : ...
exo7 1645
Soient \(\R^n\) euclidien, \(f \in \textbf{O}_n(\R)\). Montrer que ...
exo7 1646
Diagonaliser en base orthonormale les matrices suivantes : ...
exo7 1648
Soit \(f\) un endomorphisme de \(\C^3\) dont la matrice par rapport à la base can ...
exo7 1649
Soit \(A\in M_n(\Rr)\) telle que \(A^2=-I .\)
exo7 1650
Soient \(\ M\) et \(N \in M_n (\mathbb{K} ) .\) On note ...
exo7 1652
Soient \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie, ...
exo7 1654
Soit \(f \in \mathcal{L} (\R ^3)\) déterminée par sa matrice ...