Texte officiel du programme
Cette section a deux objectifs :
- étendre rapidement le programme d’analyse réelle de première année au cadre des fonctions vectorielles ;
- fournir des outils pour l’étude des équations différentielles linéaires et du calcul différentiel.
Les fonctions sont définies sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$, à valeurs dans un espace normé de dimension finie $E$.
- a) Dérivabilité en un point 1
- b) Opérations sur les fonctions dérivables 0
- c) Intégration sur un segment 46
- d) Intégrale fonction de sa borne supérieure 22
- e) Formules de Taylor 37
exo7 4300
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R\) continue telle que ...
exo7 4308
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telle que ...
exo7 4337
Soient \({f,g} : \R \to \R\) continues et \(a,b \in \R\). On pose ...
exo7 4340
On pose \(\varphi(x) = \int_{t=0}^1 e^{-x/t}\,d t\).
exo7 4342
On pose pour \(x \ge 0\) : ...
exo7 4343
On pose \(I(x) = \int_{t=0}^{\pi/2} \ln(\cos^2t + x^2\sin^2t)\,d t\).
exo7 4345
On donne : \(\int_{t=0}^{+\infty} e^{-t^2}\,d t =\frac{\sqrt\pi}2\). Existence et valeur de ...
exo7 4348
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) et ...
exo7 4356
Calculer \(f(a) = \int_{t=0}^{+\infty} e^{-t^2}\cos(at)\,d t\).
exo7 4361
Domaine de définition de \(I(\alpha) = \int_{x=0}^{+\infty}\frac{x\ln x}{(1+x^2)^\alpha}\,d x\). Calculer ...
exo7 4367
Soit \(f(x) = \int_{t=0}^{+\infty}\frac{e^{-t^2x}}{1+t^2}\,d t\).
exo7 4369
Étudier la limite en \(0+\) de ...
exo7 4377
Soit \(f(x) = \int_{t=0}^1\frac{1-t}{\ln t}t^x\,d t\). Étudier le domaine de définition de ...
exo7 4378
Soit \(I(a) = \int_{x=0}^{+\infty}\frac{\sh x}xe^{-ax}\,d x\).
exo7 4380
Soit \(P\in \C[X]\) de degré \(n\ge 1\). Le but de cet exercice est de prouver qu ...
exo7 4384
Calculer \(\iiint_D^{} f(x,y,z)\,d xd yd z\) :
exo7 4391
Calculer \(A = \iint_{0\le y\le x\le 1}^{} \frac{d xd y}{(1+x^2)(1+y^2)}\).
exo7 4399
On coupe une demi-boule par un plan \(P\) parallèle à sa base. Quelle doit être la position de ...
exo7 4544
Décomposer en éléments simples sur \(\C\) la fractions rationnelle : ...
exo7 4562
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions de classe \(\mathcal{C}^1\) sur ...
exo7 4563
Soient \(A,B\in \mathcal{M}_n(\R)\). Montrer que : ...
exo7 4644
Soit \(f : {[0,2\pi]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) telle que ...
exo7 4646
Trouver les fonctions \(f:\R \to \R\) \(2\pi\)-périodiques de classe ...
exo7 5418
Soit \(f\) une fonction de classe \(C^3\) sur ...
exo7 5430
Soit \(f(x)=\frac{x}{1-x^2}\). Calculer \(f^{(n)}(0)\) en moins de ...
exo7 5447
Soit \(f\) une fonction de classe \(C^2\) sur ...
exo7 5448
On suppose que \(f\) est une fonction de classe \(C^1\) sur ...
exo7 5450
Etude complète de la fonction \(f(x)=\frac{1}{x-1}\int_{1}^{x}\frac{t^2}{\sqrt{1+t^8}}\;dt\).
exo7 5451
Pour \(x\) réel, on pose \(f(x)=e^{-x^2}\int_{0}^{x}e^{t^2}\;dt\).
exo7 5464
Déterminer \(\lim_{x\rightarrow 1}\int_{x}^{x^2}\frac{dt}{\ln t}\).
exo7 5717
Deux calculs de \(I =\int_{0}^{\pi/2}\ln(\sin x)\;dx\).
1) (** I) En utilisant ...
exo7 5721
Etude complète de \(f~:~x\mapsto\int_{x}^{x^2}\frac{1}{\ln t}\;dt\).
exo7 5761
Pour \(x\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\), on pose \(f(x) =\tan x\). ...
exo7 5766
Pour \(x\in\Rr\), on pose ...
exo7 5767
Pour \(x\in\Rr\), on pose \(F(x)=\int_{0}^{1}\frac{e^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2}\;dt\) ...
exo7 5770
Montrer que pour tout réel \(x\) strictement positif, ...
exo7 5885
Trouver toutes les applications \(f~:~\Rr\rightarrow\Rr\), continues sur \(\Rr\) ...
exo7 5886
Montrer que \(\forall x>0\), ...
exo7 5932
Cet exercice fournit une autre méthode de calcul du volume de la boule unité \(\mathcal{B}_{n}\) de ...
exo7 6210
Soit \(E=\Rr^n\) muni de sa norme euclidienne et \(f\) une application continue d ...
exo7 6301
Soit \(f:\Rr \to \Rr\) une application \(C^\infty\) et soit ...
exo7 6302
Déterminer approximativement la valeur de \(1,05^{1,02}\) avec une erreur d’au plus ...
exo7 6303
Montrer que si \(x = 1,32 \pm 10^{-2}\) et \(y = 0,45 \pm 10^{-2}\), alors ...
exo7 6304
Ecrire le développement de Taylor-Young à l’ordre 2 au voisinage de (0,0) pour la fonction ...
exo7 6317
On considère les deux équations différentielles du second ordre ...
exo7 6736
Soit \(f(z)={1\over 1+z^4}\). Montrer que \(\int_{\gamma _R}f(z)\ dz\) tend vers ...
exo7 6737
Si \(\gamma\) est l’arc de courbe \(\gamma (t)=t+i(t^3-3t^2+4t-1)\) joignant les ...
exo7 6739
Soit \(f\) une fonction continue du quart de plan \(\{x+iy;\ x,y\geq0\}\) dans ...
exo7 6796
Enoncer le théorème des accroissements finis pour une fonction \(f:\Rr^n \to \Rr^p\).
exo7 6832
Soit \(U\) un ouvert de \(\Rr^n\) et ...