Programme de mathématiques MP, MPI
Intégration sur un intervalle quelconque
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L’objectif de cette section est triple :
- définir, dans le cadre restreint des fonctions continues par morceaux, les notions d’intégrale convergente et d’intégrabilité sur un intervalle non compact ;
- donner des outils efficaces de passage à la limite sous l’intégrale, en particulier le théorème de convergence dominée ;
- compléter l’étude des séries de fonctions par celle des intégrales à paramètre.
La technique n’est pas un but en soi. On privilégie donc les exemples significatifs : transformées intégrales (Fourier, Laplace), intégrales eulériennes...
On évite tout excès de rigueur dans la rédaction. Ainsi, dans les calculs concrets mettant en jeu l’intégration par parties ou le changement de variable, on n’impose pas de rappeler les hypothèses de régularité des énoncés. De même, dans l’application des théorèmes de passage à la limite sous l’intégrale ou de régularité des intégrales à paramètre, on se limite à la vérification des hypothèses cruciales, sans insister sur la continuité par morceaux en la variable d’intégration.
Les fonctions sont à valeurs dans $\mathbb{K}$, corps des nombres réels ou des nombres complexes.
- a) Intégrales généralisées sur un intervalle de la forme $[a,+\infty[$ 3
- b) Intégrabilité sur un intervalle de la forme $[a,+\infty[$ 82
- c) Intégrales généralisées sur un intervalle quelconque 3
- d) Intégrales absolument convergentes et fonctions intégrables 0
- e) Intégration des relations de comparaison 34
- f) Convergence dominée 25
- g) Intégration terme à terme 0
- h) Régularité d’une fonction définie par une intégrale à paramètre 0
exo7 4309
Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) de classe \(\mathcal{C}^1\), intégrable.
exo7 4310
Établir la convergence et calculer la valeur de ...
exo7 4311
Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) sur ...
exo7 4312
Donnez un équivalent pour \(x\to+\infty\) de ...
exo7 4317
Établir la convergence et calculer la somme de \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \int_0^{+\infty} \frac{dt}{(1+t^3)^n}\). ...
exo7 4318
Prouver l’existence pour \(x > 0\) de ...
exo7 4320
Donner un équivalent pour \(x\to+\infty\) de ...
exo7 4322
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R^+}\) continue. On pose ...
exo7 4330
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Déterminer ...
exo7 4331
Soit \(x\in{[0,n]}\). Montrer que \((1-x/n)^n \le e^{-x}\). En déduire ...
exo7 4335
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R^+}\) continue atteignant son maximum en un unique point ...
exo7 4338
Soient \(f,g\in\mathcal{C}([0,+\infty[,\R)\). On pose ...
exo7 4341
Soit \(I(\alpha) = \int_{x=0}^{+\infty} \frac{x^{\alpha-1}}{1+x}\,d x\). Montrer que ...
exo7 4344
On considère les fonctions définies par : \(f(x) = \left({ \int_{t=0}^x e^{-t^2}\,d t}\right)^2\) et ...
exo7 4347
On pose, pour \(x\) réel, ...
exo7 4353
Soit \(I(\alpha) = \int_{x=0}^{+\infty} \frac{\sin\alpha x}{e^x-1}\,d x\).
exo7 4357
Soient \(J(x) = \int_{t=0}^{\pi/2}\frac{d t}{\sqrt{\sin^2t + x^2\cos^2t}}\) et ...
exo7 4358
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R\) continue telle que ...
exo7 4360
On pose pour \(n\ge2\) \(u_n= \int_{x=0}^{+\infty} \frac1{1+x^n}\, d x\). Montrer ...
exo7 4362
On considère \(f(x)= \int_{t=0}^{+\infty}\frac{d t}{t^x(1+t)}\).
exo7 4364
Existence et continuité de ...
exo7 4365
Développer, pour tout \(x>0\), ...
exo7 4368
Soit \(\alpha>0\).
exo7 4370
Montrer, pour \(x>1\) : ...
exo7 4371
Soit \(f\) : \(x \mapsto \int_{t=0}^{+\infty}\frac{d t}{t^{x+1}+t+1}\). Détermin ...
exo7 4373
Soit \((a_n)_{n\in\N}\) la suite définie par \(a_0=1\) et ...
exo7 4374
Soit \(u_n(t)\) le terme général d’une série : \(u_n(t)= t^{n-1}\sin(nx)\) avec ...
exo7 4375
Soit \(f\) continue par morceaux définie sur \(\R\), à valeurs dans ...
exo7 4379
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) et ...
exo7 4385
Calculer \(\iiint_D \frac{d x\,d y\,d z}{(1+x^2z^2)(1+y^2z^2)}\) avec ...
exo7 4480
Montrer qu’il existe \(C\in\R\) tel que ...
exo7 4506
Déterminer la limite simple des fonctions \(f_n : x \mapsto \frac{x^ne^{-x}}{n!}\) sur ...
exo7 4539
Montrer, pour \(x > 0\) : ...
exo7 4596
Soit \((c_n)\) le produit de Cauchy de la suite \((a_n)\) par la suite ...
exo7 4610
Montrer que pour \(x \in {]-1,1[}\) : ...
exo7 4620
Soit \(D\) le disque ouvert de \(\C\) de centre ...
exo7 4657
Soit \(f : \R \to \C\) de classe \(\mathcal{C}^1\). On suppose qu’il existe ...
exo7 4667
Soit \(f\) à valeurs réelles, de classe \(\mathcal{C}^{2}\), ...
exo7 5713
Etudier l’existence des intégrales suivantes
| 1) (** ... |
exo7 5714
Etudier l’existence des intégrales suivantes.
| 1) (* ... |
exo7 5715
(Hors programme) Etudier la convergence des intégrales impropres suivantes :
exo7 5716
Existence et calcul de :
| 1) (** I) ... |
exo7 5718
En utilisant un développement de \(\frac{1}{1-t}\), calculer ...
exo7 5719
Calculer \(\int_{0}^{1}\frac{t-1}{\ln t}\;dt\) (en écrivant ...
exo7 5720
1) (** I) Trouver un équivalent simple quand \(x\) tend vers ...
exo7 5722
(Hors programme) Convergence et calcul de \(\int_{1}^{+\infty}\frac{(-1)^{E(x)}}{x}\;dx\).
exo7 5723
Soit \(f\) définie, continue, positive et décroissante sur \([1,+\infty[\), intég ...
exo7 5724
Soit \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\Rr^+\) à val ...
exo7 5725
Soit \(f\) de classe \(C^2\) sur \(\Rr\) à valeu ...
exo7 5727
Pour \(n\in\Nn^*\), on pose ...