Programme de mathématiques MP, MPI
Intégration sur un intervalle quelconque
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L’objectif de cette section est triple :
- définir, dans le cadre restreint des fonctions continues par morceaux, les notions d’intégrale convergente et d’intégrabilité sur un intervalle non compact ;
- donner des outils efficaces de passage à la limite sous l’intégrale, en particulier le théorème de convergence dominée ;
- compléter l’étude des séries de fonctions par celle des intégrales à paramètre.
La technique n’est pas un but en soi. On privilégie donc les exemples significatifs : transformées intégrales (Fourier, Laplace), intégrales eulériennes...
On évite tout excès de rigueur dans la rédaction. Ainsi, dans les calculs concrets mettant en jeu l’intégration par parties ou le changement de variable, on n’impose pas de rappeler les hypothèses de régularité des énoncés. De même, dans l’application des théorèmes de passage à la limite sous l’intégrale ou de régularité des intégrales à paramètre, on se limite à la vérification des hypothèses cruciales, sans insister sur la continuité par morceaux en la variable d’intégration.
Les fonctions sont à valeurs dans $\mathbb{K}$, corps des nombres réels ou des nombres complexes.
- a) Intégrales généralisées sur un intervalle de la forme $[a,+\infty[$ 3
- b) Intégrabilité sur un intervalle de la forme $[a,+\infty[$ 82
- c) Intégrales généralisées sur un intervalle quelconque 3
- d) Intégrales absolument convergentes et fonctions intégrables 0
- e) Intégration des relations de comparaison 34
- f) Convergence dominée 25
- g) Intégration terme à terme 0
- h) Régularité d’une fonction définie par une intégrale à paramètre 0
exo7 5736
Pour \(x>0\), on pose \(f(x) =\sum_{n=0}^{+\infty}e^{-x\sqrt{n}}\). Trouver un ...
exo7 5737
Pour \(x\in]-1,1[\), on pose \(f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}x^{n^2}\). Trouver un équ ...
exo7 5738
Pour \(n\in\Nn^*\), on pose ...
exo7 5740
Montrer que ...
exo7 5741
Calculer \(\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{\sh x}\;dx\) en écrivant cette intégrale comme somme d’une série.
exo7 5742
Calculer \(\int_{0}^{1}\frac{\ln x}{1+x^2}\;dx\) et ...
exo7 5762
Développer en série entière \(F(x)=\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}\sin(tx)\;dt\) et en déduire que pour tout réel ...
exo7 5768
Existence et calcul de \(\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}\ch(tx)\;dt\) (on admettra que ...
exo7 5769
Existence et calcul de \(\int_{0}^{1}\frac{t-1}{\ln t}t^x\;dt\).
exo7 5925
Le but de cette question est de montrer que \(\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\, dt\) n’est pas absolument ...
exo7 5946
Soit \(f\in \mathcal{L}^1(\mathbb{R})\). Que vaut la limite ...
exo7 5947
On rappelle qu’une fonction \(f~:\Omega \rightarrow \mathbb{R}\) est dite intégrable si ...
exo7 6736
Soit \(f(z)={1\over 1+z^4}\). Montrer que \(\int_{\gamma _R}f(z)\ dz\) tend vers ...
exo7 795
Calculer : \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{1}\frac{e^{t}}{1+t^{n}}dt.\] Éventuellemment, en donner ...
exo7 798
Dire (avec justification) si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
Loi de Poisson
Soit \(\lambda >0\) et \(X\) suivant une loi de Poisson ...
Moments de la loi exponentielle
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre ...
Propriétés de la loi normale centrée réduite
Soit \(Z\) une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite ...
Séries de Bertrand
Soient \(\alpha \in \R\) et \(\beta \in \R\) deux paramètres réels. On s’intéress ...