Programme de mathématiques MP, MPI
Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
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La réduction des endomorphismes et des matrices carrées prolonge les notions d’algèbre linéaire vues en première année. Elle trouve des applications et des illustrations dans d’autres domaines du programme (topologie, équations différentielles, systèmes dynamiques discrets, chaînes de Markov). Elle permet également de tisser des liens entre l’algèbre linéaire et l’algèbre générale, notamment polynomiale.
Le but de cette section est de donner une introduction substantielle au problème de la réduction. Les approches sont de deux types, qu’il convient d’identifier : la première, de nature géométrique, repose sur les notions de sous-espace stable et d’éléments propres ; la seconde, plus algébrique, fait appel aux polynômes annulateurs.
Sans soulever de difficulté, on signale que les notions d’algèbre linéaire étudiées en première année s’étendent au cas d’un corps de base quelconque. Pour éviter les difficultés liées aux polynômes en caractéristique non nulle, la section est traité sous l’hypothèse que $\mathbb{K}$ est un sous-corps de $\mathbb{C}$.
- a) Compléments d’algèbre linéaire 20
- b) Éléments propres d’un endomorphisme, d’une matrice carrée 255
- c) Polynôme caractéristique 188
- d) Endomorphismes et matrices carrées diagonalisables 203
- e) Endomorphismes et matrices carrées trigonalisables 22
- f) Endomorphismes nilpotents, matrices nilpotentes 43
- g) Polynômes d’un endomorphisme, d’une matrice carrée 127
- h) Lemme de décomposition des noyaux 5
- i) Polynômes annulateurs et réduction 72
- j) Théorème de Cayley-Hamilton et sous-espaces caractéristiques 14
exo7 3596
En se déplaçant uniquement sur les arêtes d’un cube de côté 1, combien y a-t-il de chemins de longueur \(n\) pour ...
exo7 3597
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et ...
exo7 3598
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\C)\) diagonalisable. Soit ...
exo7 3599
Soit \(A \in GL_n(\C)\) et ...
exo7 3600
Soit \(M = \begin{pmatrix} A &B \cr C &D \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(K)\) diagonalisable avec ...
exo7 3601
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\R)\) et ...
exo7 3602
Soit ...
exo7 3603
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension \(n\) et ...
exo7 3604
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3605
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3606
Soit \(E\) un \(\C\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3607
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3608
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(f\in\mathcal{L}(E)\) tel q ...
exo7 3609
Soit \(E\) un \(\C\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3610
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\R)\) et \(\lambda = a+ib\) une valeur propre non réel ...
exo7 3611
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3612
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 &1 &\phantom-0 \cr -3 &-2 &0 \cr 0 &0 &1 \cr \end{pmatrix}\). ...
exo7 3613
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3614
Soit \(E = \R^3\) et \(H:x+2y+3z=1\) un plan affine de ...
exo7 3615
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) un endomorphisme cyclique et \(F\) un sous-espace v ...
exo7 3616
Un endomorphisme \(f\) est dit semi-simple si tout sous-espace stable par \(f\) a ...
exo7 3617
Soit \(u\) un endomorphisme de \(E\), espace vectoriel de dimension ...
exo7 3618
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, \(f\) un endomorphisme de ...
exo7 3619
Soit \(f\in\mathcal{L}(\R^3)\) ayant pour matrice ...
exo7 3620
Soient \(A,B\in\mathcal{M}_n(\C)\) telles que \(AB = 0\). Montrer que ...
exo7 3621
Soient \(A_1,\dots,A_n\in\mathcal{M}_n(K)\) nilpotentes et commutant deux à deux. Montrer que ...
exo7 3622
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\C)\). Montrer que \(A\) est nilpotente si et seulement ...
exo7 3623
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \((u_n)\) une suite d’endomorphismes diago ...
exo7 3624
On donne une matrice carrée réelle \(M\) d’ordre \(n\). Soient ...
exo7 3640
On note \(f_n(x) = \cos nx\) et \(g_n(x) = \sin nx\) ( ...
exo7 3653
Soient \(F_1\), \(F_2\), \(F_3\) trois sev de ...
exo7 3654
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie \(n\) ...
exo7 3655
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie, ...
exo7 3656
Soit \(E\) un \(K\)-ev, \(E_1,\dots,E_n\) des se ...
exo7 3657
Soit \(E\) un \(K\)-ev, \(E_1,\dots,E_n\) des se ...
exo7 3658
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3659
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\), et ...
exo7 3710
Pour tout triplet \((a,b,c)\) de réels on pose ...
exo7 3752
Quelles sont les matrices \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) égales à leur comatrice ?
exo7 3767
Soient \(a_1,\dots,a_n \in \R\) et \(M = (a_ia_j) \in \mathcal{M}_n(\R)\). Montre ...
exo7 3770
Pour \(P,Q \in \R_n[X]\) on pose ...
exo7 3773
Soient \(p,q\) deux projecteurs orthogonaux.
exo7 3775
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\R)\) antisymétrique et \(f\) l’endomorphisme de ...
exo7 3780
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétrique telle qu’il existe \(k \in \N^*\) tel ...
exo7 3783
Soit \((A_i)\) une famille de matrices \(n\times n\) réelles symétriques commutan ...
exo7 3784
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétriques, \(B\) définie positive. Montrer ...
exo7 3790
Soient \(h \in \mathcal{L}(E)\) autoadjoint, \(\vec x_0 \in E\) unitaire, ...
exo7 3792
Soit \(f\in\mathcal{L}(E)\). Montrer que ...
exo7 3798
Soit \(A\in M_n(\R)\) telle que \(A^3={}^t\!A A\). ...
exo7 3803
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) muni du produit scalaire défini par ...