Programme de mathématiques MP, MPI
f) Endomorphismes nilpotents, matrices nilpotentes
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Endomorphisme nilpotent d’un espace vectoriel $E$ de dimension finie, matrice nilpotente. | |
Un endomorphisme est nilpotent si et seulement s’il est trigonalisable avec pour seule valeur propre $0$. | Caractérisation des endomorphismes nilpotents et des matrices nilpotentes par le polynôme caractéristique. |
L’indice de nilpotence est majoré par la dimension de $E$. |
exo7 1039
Soit \(E\) un \({K}\) espace vectoriel de dimension finie ...
exo7 1155
On considère les matrices :
...
exo7 1523
Soit \(f\in\mathrm{End}(\R^{3})\) tel que \(f^{2}=0\). Montrer qu’il existe ...
exo7 1577
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\), et ...
exo7 1607
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices de ...
exo7 1619
Soit \(n\) un entier strictement supérieur à 1. Soit \(A\) une matrice ...
exo7 1640
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, et \(u\) un endomorphisme de ...
exo7 1650
Soient \(\ M\) et \(N \in M_n (\mathbb{K} ) .\) On note ...
exo7 1680
Quel est le polynôme caractéristique d’un endomorphisme nilpotent d’un \(\Cc\)-espace vectoriel de dimension finie ...
exo7 1682
Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphismes de ...
exo7 1692
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension \(4\). Soit: ...
exo7 1693
Quel est le polynôme caractéristique d’un endomorphisme nilpotent d’un \(\Cc\)-espace vectoriel de dimension finie ...
exo7 1696
Les matrices ...
exo7 1698
Soit \(E\) un \(\Cc\)-espace vectoriel de dimension finie ...
exo7 1899
Soit \(A\in M_n(\Cc )\). Montrer quil existe une suite de matrices ...
exo7 2477
Soit \(A\) une matrice carrée réelle d’ordre \(n\) non nulle et nilpotente.
exo7 2579
Soit \(E\) un espace vectoriel sur un corps \(K\) ( ...
exo7 2588
Soit \(N\) une matrice nilpotente, il existe \(q\in\N\) tel que ...
exo7 2592
Soit \(A\) la matrice de \(M_3(\R)\) suivante : ...
exo7 3344
Soit \(E\) un \(K\) espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 3345
Soit \(E\) un \(K\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 3378
Soit \(A\) une matrice triangulaire à diagonale nulle. Montrer que \(A\) est nilp ...
exo7 3439
Soient \(u,n \in \mathcal{L}(E)\) deux endomorphismes d’un \(\C\)-ev de dimension ...
exo7 3484
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(K)\). Montrer que \(A\) est non inversible si et seuleme ...
exo7 3573
Soit \(E\) un ev réel de dimension finie et \(f,g\in \mathcal{L}(E)\), ...
exo7 3581
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\C)\). Montrer qu’il existe deux matrices \(D,N\) telles ...
exo7 3583
Soit \(f\in\mathcal{L}(\R^3)\) telle que \(\mathrm{Spec}(f) = \{\lambda\}\) et ...
exo7 3588
Soit \(f\), endomorphisme d’un espace vectoriel \(E\) de dimension ...
exo7 3621
Soient \(A_1,\dots,A_n\in\mathcal{M}_n(K)\) nilpotentes et commutant deux à deux. Montrer que ...
exo7 3622
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\C)\). Montrer que \(A\) est nilpotente si et seulement ...
exo7 4788
Soit \(N\in\mathcal{M}_n(\C)\). Montrer que \(N\) est nilpotente si et seulement ...
exo7 5261
Soit \(f\) un endomorphisme de \(\Rr^3\), nilpotent d’indice ...
exo7 5584
Soient \(E\) un espace de dimension finie \(n\) non nulle et ...
exo7 5599
Soient \(E\) un \(\Cc\)-espace vectoriel non nul de dimension finie ...
exo7 5624
Soit \(M\in\mathcal{M}_3(\Rr)\). Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
...exo7 5628
Pour \(A\) matrice nilpotente donnée, on pose ...
exo7 5657
Soient \(u\) et \(v\) deux endomorphismes d’un espa ...
exo7 5658
Soit \(A\) une matrice carrée de format \(n\).
Montrer que ...
exo7 5684
Résoudre dans \(\mathcal{M}_3(\Cc)\) l’équation ...
exo7 5865
Soit \(A\in\mathcal{M}_p(\Cc)\), \(p\geqslant1\). Montrer que les trois propositi ...
exo7 6338
Soit \(A\) un opérateur de \(\Rr^n\) et ...
exo7 6352
Si \(A\) est nilpotente, quelle est la forme des solutions de l’équation ...
Triangularisation et décomposition nilpotente
Soit \(A\) la matrice ...