Texte officiel du programme
Les objectifs de cette section sont les suivants :
- étudier la convergence d’une série entière et les propriétés de sa somme ;
- introduire la notion de fonction développable en série entière ;
- établir les développements en série entière des fonctions usuelles.
Les séries entières donnent un outil puissant pour aborder certains calculs : résolution d’équations différentielles linéaires, fonctions génératrices en probabilités... Elles permettent également de revenir sur la thématique de la régularité des fonctions, introduite en première année, et donnent l’occasion d’introduire la « variable complexe ».
Les coefficients des séries entières considérées sont réels ou complexes.
- a) Généralités 100
- b) Continuité de la somme d’une série entière de la variable complexe 36
- c) Régularité de la somme d’une série entière de la variable réelle 17
- d) Fonctions développables en série entière, développements usuels 90
Calcul d'intégrale
Le but de l’exercice est de calculer l’intégrale : \[I = \int_0^1 \ln(t)\ln(1-t)\mathrm{d}t\] à l’aide d’un dével ...
Calcul d'une somme de série entière
Déterminer le domaine de convergence de la série entière ...
Calcul d'une somme de série entière
On considère la série entière de la variable réelle \(x\) : ...
Calcul d'une somme de série entière
On considère la série entière \(\displaystyle S(x)= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(3x)^n}{n^2+3n+2}\).
Calcul d'une somme de série entière
Soit la série entière \(\displaystyle \sum_{n\geq 2} \frac{(-1)^n}{n(n-1)}x^n\).
Calcul d'une somme de série entière
En utilisant le résultat de la somme de la série entière \(\sum_{k=0}^{+\infty} x^k = \frac{1}{1-x}\), déterminer ...
Calcul de la somme d'une série entière
On considère la série entière : \[S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n}{n+2}x^n\]
Convergence de séries entières
Calculer le rayon \(R\) de convergence et déterminer le domaine \(D\) de converge ...
Domaine de convergence de séries sentières
On considère la série entière de la variable réelle \(x\) : ...
Domaine de convergence et somme d'une série sentière
- \question{ Vérifier que : $\forall n \in \N$, ...
DSE et Equations différentielles
Le but de cet exercice est de résoudre l’équation différentielle \[x(x-1)y''+3xy'+y=0\] avec les cond ...
Développement d'une fonction usuelle en série entière
À l’aide des développements en séries entières des fonctions usuelles, calculer les développements en séries entières en ...
Développement en série entière
Développer en série entière la fonction de la variable réelle suivante : \[f \colon x \mapsto \ln(x^2-5x+6)\]
Développement en série entière
Soit la fonction d’une variable réelle \(f \colon x \mapsto \ln(2+x-x^2)\).
Développement en série entière
Donner un développement en série entière de la fonction \(u \mapsto \ln(1-u)\), en précisant le rayon de convergen ...
Développement en série entière d'une fonction
Soit la fonction d’une variable réelle \(f \colon x \mapsto e^{x^2}-1\).
Développement en série et étude de suites définies par des équations polynomiales
On supposera connues les relations suivantes : ...
Développements en série entière au voisinage de $0$
On considère les fonctions \[f(x)=\frac{1}{3+\frac{x}{2}} \qquad\text{et}\qquad g(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}.\]
Etude d'une série entière
Soit la série entière d’une variable réelle définie par : ...
Etude d'une série entière
Déterminer le rayon de convergence de la série : \[\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n^2+4n-1}{n!(n+2)}x^n\] puis détermi ...
Etude de séries entières
Déterminer le rayon de convergence des séries entières réelles suivantes :
Etude de séries entières
On considère la série entière réelle \(\displaystyle \sum_{n \geq 0} \dfrac{(n+1)x^n}{2^n}\).
Etude de séries entières
Déterminer le rayon de convergence des séries entières réelles suivantes :
exo7 1267
Soit \(f\) l’application de \(\Rr\) dans \(\Rr\) ...
exo7 1270
Soit \(f\in C^{\infty }({\Rr},{\Rr})\) telle que ...
exo7 2877
On suppose \(\sum_{n\geq1} |u_n|^2 < \infty\). Montrer que les deux séries ...
exo7 4033
Développer de deux manières \((1-e^x)^n\) en \(0\) à l’ordre ...
exo7 4087
Soit \(\lambda\in\R\) et ...
exo7 4286
Soit \(\gamma\) la constante d’Euler. Montrer que …
exo7 4365
Développer, pour tout \(x>0\), ...
exo7 4468
Soient \(a \in {[0,1[}\). Écrire \(\frac1{(1-a)^2}\) comme produit de deux séries ...
exo7 4496
Soit \(S(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{1+t^n}\).
exo7 4497
Soient \(a,b,c\in\N^*\). On pose ...
exo7 4502
Déterminer l’ensemble de définition de \(f(x) = \sum_{k=2}^\infty\frac{(-1)^k}{x+k}\). Montrer que ...
exo7 4516
Trouver une suite de polynômes \((P_n)\) convergeant simplement (resp. uniformément) vers la fonction nulle sur ...
exo7 4529
Soit \(f(a) = \sum_{n=0}^\infty e^{-a^2n^2}\) sous réserve de convergence ...
exo7 4531
Soit \(\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^x}\) et ...
exo7 4534
Soit \(g(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\,(x+n)}\).
exo7 4539
Montrer, pour \(x > 0\) : ...
exo7 4547
Pour \(y\in\R\) et \(n\in\N^*\), on pose ...
exo7 4548
Soit \((p_n)\) une suite d’entiers naturels, strictement croissante et telle que ...
exo7 4553
Soit \(S(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{1-t^n}\).
exo7 4564
Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. En donner une démonstration ou un contre-exemple.
exo7 4565
Trouver le rayon de convergence de la série entière \(\sum a_nz^n\) :
exo7 4566
Comment peut-on trouver le rayon de convergence d’une série entière dont la suite des coefficients admet une infinité de zéros ?
exo7 4567
Quel est le rayon de convergence de la série entière : ...
exo7 4568
Rayon de convergence \(R\) de la série entière ...
exo7 4569
On considère les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) définies par : ...
exo7 4570
Soit \(\sum a_nz^n\) une série entière de rayon de convergence \(R > 0\). Déte ...