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Déterminer, s’il en existe, tous les idéaux \(J\) de \(\mathbb{R}[X]\) tels que : ...

Soit \(A\) l’ensemble des suites \((a_n)\) de complexes telles que la série entiè ...

Soit \(A =\{ n+p\sqrt2 \text{ tq } n,p \in \N,\ n+p\sqrt2 > 0,\ n^2-2p^2 = 1\}\). Montrer que ...

Soit \(G\) un sous-groupe fini de déplacements du plan.

Montrer que les sous groupes du groupe \((\Rr,+)\) sont soit de la forme \(a\Zz\) ...

Démontrer que \(S_n\) est engendré par ...

Démontrer que \(S_n\) est engendré par \(\tau_{1,2}\) et le cycle ...

Soit \((G,\times)\) un groupe. Montrer que \((G,\times)\) est isomorphe à un sous ...

Soit \(G\) un groupe et \(S\) une partie de ...

Soit \(G\) un groupe et \(A\), \(B\) deux sous-g ...

Dans \(GL(2,\Rr)\) : le groupe des matrices \((2,2)\) inversibles à coefficients ...

Montrer que tout sous-groupe d’un groupe cyclique (monogène) est cyclique.

Soit \(G\) un groupe.

Soit \(G\) un groupe et \(A\) un sous-groupe de ...

Montrer que le groupe \(G\) donné par sa présentation:

...

Montrer que \(S^3\) est un sous-groupe de \(\mathbb{H}^*\) considéré comme groupe ...

Dans le groupe des entiers modulo \(11\) muni de l’opération de multiplication, lesquels parmi les ensembles suiva ...

Montrer que, dans un groupe \(G\), pour tout élément \(a\in G\), l’ensemble des ...

Combien de générateurs différents a un groupe cyclique d’ordre \(6\)?

Soit \(G\) un un groupe engendré par deux éléments \(x\) et ...

Vérifier que pour tout cycle \((i_1\, i_2\dots i_p),\; p\geq 2\), dans \(S_n\) et ...

Trouver l’ordre des permutations suivantes \[(abcdef)(ghij)(klm)\; ;\; \; \; \; (123456)(1234)(123)\, .\]

Soit \(n\geq 2\) un nombre entier. Montrer que \(n\) est premier si et seulement ...

Montrer que les groupes suivants ne sont pas isomorphes :

Soit \(K=\{ e,a,b,c \}\) un groupe d’ordre \(4\) tel que ...

Soit \((G,\cdot)\) un groupe fini d’ordre \(n\). Trouver toutes les morphismes de ...

Soit \((G,\cdot)\) un groupe. On appelle sous-groupe caractéristique de ...

Combien d’automorphismes a un groupe cyclique d’ordre \(p\), où \(p\) est un nomb ...

Montrer que les seuls groupes distingués de \(S_5\) sont ...

Montrer que tout sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique.

Soit \(G\) un groupe fini et \(H\) un sous-groupe d’indice ...

(Théorème d’Euler) Soit \(n\in \N^*\) et \(a\in \Z^*\) premier avec ...

Soit \(\phi\) un automorphisme de \(S_n\). Montrer que si ...

Soit \(G\) un groupe fini opérant sur un ensemble fini \(E\).

Soit \(G\) un \(p\)-groupe opérant sur un ensemble fini ...

Montrer qu’un groupe infini \(G\) qui a un sous-groupe propre d’indice fini \(H\) ...

Prouver que tout sous-groupe d’ordre 35 est cyclique.

Soit \(G\) un groupe fini avec \(|G|=p^2q\), où ...

Prouver qu’un groupe d’ordre \(p^2q\) ne peut pas être simple.

Soit \(G\) un groupe abélien de type fini. Montrer que si tout élément de \(G\) e ...

Montrer que \(\Q /\Z\) est un groupe abélien infini dont tout élément est d’ordre fini. En déduire qu’il ne peut p ...

Soit \(G\) un groupe fini abélien. Montrer que pour tout diviseur \(d\) de ...

Trouver les invariants et la décomposition canonique du groupe abélien fini dont les diviseurs élémentaires (appellées aussi invariants p ...

Montrer que les anneaux de polynômes \(\R[X]\) et \(\C[X]\) ne sont pas isomorphe ...

Montrer qu’il existe un morphisme d’anneaux et un seul de \(\Z /4\Z\) à ...

Montrer que \(\Z /4\Z \times \Z /4\Z\) a exactement trois sous-anneaux.

Dans \(\Z /10\Z\) montrer que les multiples de 5 forment un anneau isomorphe à ...

Montrer que l’image réciproque d’un idéal par un morphisme d’anneaux est un idéal.

Soit \(p\) un nombre premier et \(A\) un anneau intègre de caractéristique ...

Soit \(A\) un anneau intègre et \(a,b,c \in A\setminus \{0 \}\). Montrer que, cha ...