Programme de mathématiques MP, MPI
a) Normes et espaces vectoriels normés
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Norme sur un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. Structure d’espace vectoriel normé. | Vecteurs unitaires. |
Distance associée à une norme. | Inégalité triangulaire. |
Boules fermées, boules ouvertes, sphères. Convexité des boules. | On introduit à cette occasion la notion de partie convexe d’un espace vectoriel réel. |
Parties, suites, fonctions bornées. Norme associée à un produit scalaire sur un espace préhilbertien réel. Normes $\lVert\ \rVert_1$, $\lVert\ \rVert_2$, $\lVert\ \rVert_\infty$ sur $\mathbb{K}^n$. | |
Norme de la convergence uniforme sur l’espace des fonctions bornées à valeurs dans $\mathbb{K}$. | Notation $\lVert\ \rVert_\infty$. Pour les applications pratiques, on peut utiliser sans justification l’égalité $\sup(kA)=k\sup(A)$ pour $A$ partie non vide de $\mathbb{R}$ et $k\in\mathbb{R}^+$. |
Normes de la convergence en moyenne et de la convergence en moyenne quadratique sur l’espace des fonctions continues sur un segment à valeurs réelles ou complexes. | Notations $\lVert\ \rVert_1$ et $\lVert\ \rVert_2$. |
Produit fini d’espaces vectoriels normés. |
exo7 4739
Soit \(E\) un evn, et \(\vec a \in E\), ...
exo7 4751
Soit \(A \in \mathcal{M}_p(\R)\) quelconque. Montrer qu’il existe une suite de matrices inversibles convergeant ve ...
exo7 4754
Soient \(E = \mathcal{C}([a,b]\to\R)\), \((f_n)\) une suite de fonctions de ...
exo7 4755
On note \(E\) l’espace vectoriel des suites réelles \((x_n)\) telles ...
exo7 4757
Montrer que \((x,y)\mapsto \sup\limits_{t\in \R} \frac{|x+ty|}{1+t+t^2}\) est une norme sur ...
exo7 4758
Soit \(E = \R[X]\). Pour \(P = \sum_{k=0}^n a_kX^k\), on pose : ...
exo7 4759
Soit \(E = \R[X]\). Pour \(P\in E\) on pose ...
exo7 4760
Soit \(a\in\R\). On pose pour \(P\in\R[X]\) : ...
exo7 4761
Soit \((\lambda_n)\) une suite de réels strictement positifs. On lui associe la norme sur ...
exo7 4762
\(E\) est l’ensemble des fonctions \(f\) de classe ...
exo7 4763
Pour \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\), on pose \(\|A\| = \sqrt{\mathrm{tr}({}^tAA)}\). ...
exo7 4764
Soit \(p\) une semi-norme sur \(\mathcal{M}_n(\C)\) (ie. il manque juste l’axiome ...
exo7 4765
Soient \(E,F\) deux evn et \(G = E \times F\). On pose pour ...
exo7 4766
Soit \(E\) l’ensemble des suites \(u=(u_n)\) réelles borné ...
exo7 4767
Soit \(E\) l’ensemble des suites réelles \(u = (u_n)_{n\ge1}\) telle ...
exo7 4768
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions \(\R \to \R\) lipschitziennes. Pour ...
exo7 4769
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions \(f : {[0,1]} \to \R\) de classe ...
exo7 4770
\(E=C([0,1],\R)\). Soit \(g\in E\). Pour tout ...
exo7 4771
Soit \(E\) un espace préhilbertien réel et ...
exo7 4772
Soit \((E,\|\ \|)\) un \(\R\)-evn et ...
exo7 4773
Soit \(E\) un espace vectoriel réel. On considère une application ...
exo7 4780
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(C \subset E\) convexe et dense. Montrer ...
exo7 4782
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) muni de la norme de la convergence uniforme. Soit ...
exo7 4784
Les solutions de l’équation \(u^2=\mathrm{id}_{\R^n}\) pour ...
exo7 4796
Soit \(E = \R[X]\). Pour \(P \in E\), on pose : ...
exo7 4802
Soient \(E,F\) deux \(\R\)-espaces vectoriels normés, ...
exo7 4805
\(E\) est l’ensemble des fonctions de \(\R\) dans ...
exo7 4809
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(u \in \mathcal{L}(E)\). On choisit ...
exo7 4812
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) et \(f \in \mathcal{L}(\R^n)\), ...
exo7 4815
On note \(E=\mathcal{C}^\infty([0,+\infty[,\R)\) et \(D\) l’endomorphisme de ...
exo7 4817
Soit \(E\) l’ensemble des suites réelles \(u = (u_n)\) borné ...
exo7 4820
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(u \in \mathcal{L}(E)\). On pose ...
exo7 4822
Soit \(u\) une application linéaire de \(\R^n\) dans ...
exo7 4837
Soit \(E = {\cal C}([0,2\pi])\) muni de la norme \(\|.\|_2\). Pour ...
exo7 4838
Soit \(\|.\|\) une norme sur \(\R^2\), ...
exo7 4839
Soit \(E\) un espace vectoriel normé, \(K\) un compact convexe de ...
exo7 4846
Soit \(E = \{ \text{fonctions lipchitziennes } f:\R \to \R \}\). Pour \(f \in E\) ...
exo7 4848
Soit \(E\) un evn complet et \((B_n(a_n,r_n))\) une suite décroissan ...
exo7 4849
Soit \(E = {\cal B}(\N,\R) = \{ \text{suites } u = (u_n) \text{ born{é}es}\}\). On munit ...
exo7 4855
Soit \({\vec f} : {I\subset \R} \to {\R^3}\) une fonction de classe ...
exo7 492
Soient \(x=(x_1,\ldots,x_n)\) et \(y=(y_1,\ldots,y_n)\in\Rr^n\). On note ...
exo7 4948
Soient \({\cal T}_1\), \({\cal T}_2\) deux torseurs de sommes ...
exo7 4959
Soient \(A,B,C,D,E\) cinq points de l’espace et \(k \in \R\).
Déterminer l ...
exo7 5777
Soit \(E\) un \(\Rr\)-espace vectoriel muni d’une norme, notée ...
exo7 5839
Montrer que la boule unité d’un espace vectoriel normé est un convexe de cet espace.
exo7 5840
Inégalités de Hölder et de Minkowski. Soit ...
exo7 5841
Soit \(E = C^2([0,1],\Rr)\). Pour \(f\) élément de ...
exo7 5854
On munit \(E=\Rr[X]\) de la norme \(\|\;\|_\infty\) définie par : ...
exo7 5858
Déterminer ...
exo7 5861
Existe-t-il une norme \(N\) sur \(\mathcal{M}_n(\Rr)\) ( ...