Programme de mathématiques MP, MPI
e) Étude locale d’une application, continuité
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Limite en un point adhérent à une partie $A$. Caractérisation séquentielle. | Extensions : limite de $f(x)$ lorsque $\lVert x\rVert$ tend vers $+\infty$, limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ lorsque $A$ est une partie de $\mathbb{R}$, limite infinie en $a$ adhérent à $A$ pour une fonction réelle. |
Cas d’une application à valeurs dans un produit fini d’espaces vectoriels normés. Opérations algébriques sur les limites. Limite d’une composée. Continuité en un point. Caractérisation séquentielle. | |
Opérations algébriques sur les applications continues. Composition de deux applications continues. | Deux applications continues qui coïncident sur une partie dense sont égales. |
Image réciproque d’un ouvert, d’un fermé par une application continue. | |
Applications uniformément continues, applications lipschitziennes. | Caractère 1-lipschitzien de l’application $x\mapsto d(x,A)$ où $A$ est une partie non vide de $E$. |
exo7 4666
On note : \(E^{\phantom 1} = \{\text{fonctions continues }2\pi\text{-périodiques }f : \R \to \C\}\) ;
...
exo7 4723
Soit \(f : {[0,1]} \to {[0,1]}\) continue, \(u_0 \in {[0,1]}\) et ...
exo7 4725
Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que ...
exo7 4728
Déterminer toutes les fonctions \(f : \R \to \R\) continues, périodiques de pé ...
exo7 4733
Soit \(A\) une partie non vide d’un espace vectoriel normé \(E\). Po ...
exo7 4736
Soient \(E\), \(F\) deux espaces vectoriels normés et ...
exo7 4740
Soit \(E\) un evn et \(A \subset E\) une partie non vide. Pour ...
exo7 4741
Soit \(A\) une partie de \(\R^n\) non vide. On note pour ...
exo7 4745
Soit \(f\) définie par \(f(x)=\frac{x}{\max(1,\|x\|)}\). Montrer que ...
exo7 4765
Soient \(E,F\) deux evn et \(G = E \times F\). On pose pour ...
exo7 4779
\(E\) est un \(\R\)-espace vectoriel normé et ...
exo7 4785
Soit \(A\) une partie convexe d’un evn \(E\).
exo7 4788
Soit \(N\in\mathcal{M}_n(\C)\). Montrer que \(N\) est nilpotente si et seulement ...
exo7 4789
Soit \(n\in\N^*\) et \(\sigma\in\R^n\). On note ...
exo7 4790
Soit \(f:\R \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4791
Soit \(f : {\R^2} \to \R\) continue. On pose ...
exo7 4792
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(f : E \to\R\) continue. On suppose que ...
exo7 4793
On note \(\Omega = \R^2\setminus \{(0,0)\}\) et ...
exo7 4794
Trouver une fonction \(f : {\R^2} \to \R\) discontinue en \((0,0)\) mais telle qu ...
exo7 4795
Soit \(E = \mathcal{M}_n(\R)\), \(F = \R_n[X]\), et ...
exo7 4797
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(f : E \to E\) une fonction ...
exo7 4801
Soit \(P\in\C[X]\) et \(U\) un ouvert de \(\C\) ...
exo7 4802
Soient \(E,F\) deux \(\R\)-espaces vectoriels normés, ...
exo7 4803
Soit \(A\subset E\) une partie non vide bornée et \(f : A \to F\) u ...
exo7 4807
Soient \(x_1,\dots,x_n \in \R\) distincts. À ...
exo7 4823
Soit \(E\) un evn et \(A \subset E\). On suppose que ...
exo7 4827
Soient \(E,F\) deux espaces vectoriels normés et \(f : E \to {F.}\) ...
exo7 4828
Soit \(A\) une partie compacte d’un evn \(E\) et ...
exo7 4829
Soit \(C\) un compact convexe d’un evn \(E\). Soit ...
exo7 4831
Soit \(A\) une partie compacte d’un evn \(E\) et ...
exo7 4839
Soit \(E\) un espace vectoriel normé, \(K\) un compact convexe de ...
exo7 4846
Soit \(E = \{ \text{fonctions lipchitziennes } f:\R \to \R \}\). Pour \(f \in E\) ...
exo7 4858
Soit \(f : {I\subset \R} \to {\R^2}\) une fonction continue, \(D\) une droite de ...
exo7 5387
Montrer que la fonction caractéristique de \(\Qq\) est discontinue en chacun de ses points.
exo7 5392
Soit \(A\) une partie non vide de \(\Rr\). Pour ...
exo7 5553
Etudier l’existence et la valeur éventuelle d’une limite en \((0,0)\) des fonctions suivantes :
exo7 5848
Soient \((E,N_E)\) et \((F,N_F)\) deux espaces vectoriels normés. Soient ...
exo7 5851
Soit \(f~:~\Rr\rightarrow\Rr\) une application uniformément continue sur \(\Rr\). ...
exo7 5887
Etudier l’existence et la valeur éventuelle des limites suivantes :
exo7 5900
Soit \((E,\|\;\|)\) un espace vectoriel normé et \(B=\{x\in E/\;\|x\| < 1\}\). ...
exo7 5902
Maximum du produit des distances d’un point \(M\) intérieur à un triangle \(ABC\) ...
exo7 6068
Soit \(f\) une application continue de \(\R\) dans ...
exo7 6069
Soit \(f\) une application de \(\R\) dans \(\R\) ...
exo7 6073
Soit \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels normés et on note ...
exo7 6077
Soit \(C\) l’espace des fonctions continues réelles sur \([0,1]\) muni de la métr ...
exo7 6081
Soit \(f\) une application ouverte de \(X\) dans ...
exo7 6088
Soit \(E\) un espace vectoriel normé sur \(\R\) ou ...
exo7 6089
Soit \(E\) un espace vectoriel normé sur \(\C\) de boule unité fermée ...
exo7 6116
Montrer que \(\Zz\) et \(\Qq\) (munis de la topologie induite par celle de ...
exo7 6119
Montrer que le carré unité fermé et le disque fermé dans \({\Rr}^2\) sont homéomorphes.