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Soient \(a\) et \(b\) deux entiers relatifs, tels que ...

Étant donné un entier naturel \(n\), on appelle classe d’un entier relatif \(p\) ...

Déterminer le sous-groupe de \(\Zz\) engendré par les entiers 24, 36 et \(-54.\) ...

Soit le groupe \(G=\Zz/12\Zz\).

Écrire l’ensemble de définition de chacune des fonctions numériques suivantes : \(x\mapsto\sqrt x\), ...

Soient \(G\) un groupe et \(x\in G\) un élément d’ordre ...

Soient \(G\) un groupe et \(x, y\in G\) des éléments qui commutent et d’ordres re ...

Montrer que \(\overline{k}\) est inversible dans l’anneau \(\Zz {/}n\Zz\) si et s ...

Soit l’anneau \(A=\Zz{/}91\Zz\).

Donner la liste des générateurs de \((\Z /n\Z ,+) .\)

Soit le groupe \(G\) (additif) \(\Zz/40\Zz.\)

Soit \(G\) le groupe \(\Qq/\Zz\). Si \(q\in\Q\), ...

Soit \(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}\), \(r\) nombres premiers. Montrer que l’entier ...

Démontrer, en raisonnant par récurrence, que \(10^{6n+2}+10^{3n+1}+1\) est divisible par ...

Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \(9\) divise ...

Démontrer par récurrence que pour tout \(k\in\mathbb{N}\), \(k!\) divise le produ ...

Les propriétés \[P_n \;:\; 3 \mid 4^n-1 \;,\; \forall n \in \mathbb{N},\] et ...

Calculer les restes de la division euclidienne de \(1,4,4^2,4^3\) par \(3\).

Démontrer, en raisonnant par récurrence, que \(3^{2n+2}-2^{n+1}\) est divisible par ...

Montrer que : \[\forall n\geq 2,u_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\notin \Nn.\] Indication : montrer ...

Soit \(n\) un entier impair non divisible par \(3\). Montrer que ...

Soient \(G\) un groupe fini et \(m\) un entier premier à l’ordre de ...

Soit \(G\) un groupe abélien et \(a\) et ...

La relation “divise” est-elle une relation d’ordre sur \(\Nn\) ? sur \(\Zz\) ? Si ...

Soient \(n\geq 0\) un entier et \(p\) un nombre premier tels que ...

Montrer que tout entier \(n>0\) divise toujours \(\varphi(2^n-1)\) (où ...

Démontrer que si \(p\) est un nombre premier, \(p\) divise ...

En utilisant la formule du binôme, démontrer que :

Trouver \[999\cdot 1998\mod 1999, \qquad 136^7 \mod 137, \qquad 1997\cdot 1998\cdot 1999\cdot 2000 \mod 2001.\] ...

Examiner les carrés \(\quad a^2 \mod n\) pour \(n=3, \ 4,\ 8\).

Passer \(\mod n\ \) avec un module approprié et montrer que chacune des équations suivantes n’a aucune solution da ...

On dit que \(\quad a \mod n\) est inversible si il existe \(b \mod n\) tel que ...

Trouver toutes les solutions dans \(\Zz\) :

Soit \(p\) un nombre premier et \(a\) un nombre pr ...

Examiner \(7^n+11^n \mod 19\).

Soit \(p=2m+1\) un nombre premier. Montrer que :

Soit \(p>2\) un nombre premier.

Trouver toutes les solutions des équations :

Soient \(m,n\in\Nn^*\) et \(p\in\Nn\). En utilisant la formule du binôme, démontr ...

Pour quel \(n\), \(m\) dans \(\Zz\) la fraction ...

Soit \(P\in \Zz[x]\).

Soit \(P\in \Zz[x]\). Soit \(\dfrac{a}{b}\) sa racine rationnelle : ...

Trouver toutes les solutions des systèmes suivantes :

Montrer que \(20^{15}-1\) est divisible par \(11\times 31\times 61\).

Quels sont les restes des division de \(10^{100}\) par \(13\) et par ...

Soit \(\Zz_{36}=\Zz/36\Zz\ \) l’anneau des entiers modulo \(36\).

Soit \(p\) un nombre premier impair. Montrer que la congruence ...

Combien \(15!\) admet-il de diviseurs ?

Trouver le reste de la division par \(13\) du nombre \(100^{1000}\).

Sachant que l’on a \(96842=256\times 375 + 842\), déterminer, sans faire la division, le reste de la division du n ...