Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
e) Congruences
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Relation de congruence modulo un entier sur $\mathbb{Z}$. | Notation $a \equiv b\ [n]$. |
Opérations sur les congruences : somme, produit. Utilisation d’un inverse modulo $n$ pour résoudre une congruence modulo $n$. Petit théorème de Fermat. | Les anneaux $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ sont hors programme. |
exo7 3540
Soit \(p\) premier et \(A\in\mathcal{M}_n(\Z)\). Montrer que ...
exo7 405
Soit \(P \in {\Z}[X]\) et \(n \in {\Z}\) ; notons ...
exo7 4472
Soit \(\sum_{n\ge1} x_n\) une série absolument convergente telle que pour tout entier ...
exo7 5283
Montrer que le premier de l’an tombe plus souvent un dimanche qu’un samedi.
exo7 5292
Montrer que \(\forall n\in\Zz,\;6|5n^3+n\).
exo7 5293
Un entier de la forme \(8n+7\) ne peut pas être la somme de trois carrés parfaits.
exo7 5295
Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), \(2^{n+1}\) divise ...
exo7 5296
Soient \(A\) la somme des chiffres de \(4444^{4444}\) et ...
exo7 5297
Montrer que si \(p\) est premier et \(8p^2+1\) est premier alors ...
exo7 5300
Montrer que la somme de cinq carrés parfaits d’entiers consécutifs n’est jamais un carré parfait.
exo7 5305
Résoudre dans \((\Nn^*)^2\) l’équation d’inconnue \((x,y)\) : ...
exo7 5306
Montrer que \(n=4...48...89\) (\(p\) chiffres ...
exo7 5307
Montrer que tout nombre impair non divisible par \(5\) admet un multiple qui ne s’écrit (en base ...
exo7 5311
Soit \(p\) un nombre premier.
exo7 5312
Soit \(p\) un entier supérieur ou égal à \(2\). Montrer que : ...
exo7 6479
(Théorème d’Euler) Soit \(n\in \N^*\) et \(a\in \Z^*\) premier avec ...
exo7 6503
Montrer qu’il existe un morphisme d’anneaux et un seul de \(\Z /4\Z\) à ...
exo7 6522
Résoudre les congruences simultanées suivantes :
exo7 6523
Montrer que deux congruences dans \(\Z\) de la forme ...
exo7 7012
Montrer que pour tout entier \(n\) positif, l’entier \(10^n - (-1)^n\) est divisi ...
exo7 7197
Soit \(f : \R\to \mathbb U, t\mapsto e^{it}\), et soit \(\mathcal R\) la relation ...
exo7 7305
Déterminer les puissances de \(2\) modulo \(9\). Que dire du groupe ...
exo7 7306
Soit \(m\) et \(n\) deux entiers naturels non nuls premiers entre eux. On a vu co ...
exo7 7307
Il est souvent important de calculer \(a^t\) modulo \(n\) avec ...
exo7 7312
Soit \(p\) un nombre premier impair. Quels éléments de \((\Z/p\Z)^\times\) sont l ...
exo7 7313
Dans l’anneau \(\Z /3 \Z\), calculer \((a+b)^3\) où ...
exo7 7314
\(20606\) appartient-il à \(14443 + 3079 \Z\) ?
exo7 7325
L’entier \(51606\) appartient-il à \(2569 + 247\Z\) ?
exo7 7334
Le nombre \(101\) est-il premier ? Peut-il s’écrire comme somme de deux carrés.
exo7 7335
Quelle identité obtient-on quand on écrit que la norme de \((a+ib)(c+id)\) dans ...
exo7 7344
Considérons le groupe \(\displaystyle\left(\mathbb{F}_{53} \right)^\times\). Quels sont les ordres possibles d’un ...
exo7 7348
Alice et Bernard décident d’utiliser l’algorithme d’El Gamal. Il utilise le corps \(\mathbb{F}_{19}\) avec l’éléme ...
exo7 7370
L’entier \(-1601\) est-il un représentant de la classe \([-7387]_{ 2893}\) de ...
exo7 7377
Factoriser \(221\) en produit de nombres premiers.
exo7 7382
Factoriser \(221\) en produit de nombres premiers.
exo7 7388
Rappeler la liste à isomorphisme près des groupes d’ordre \(4\).
exo7 7392
L’entier \(51606\) appartient-il à \(2569 + 247\Z\) ?
exo7 7397
La classe \([51]\) est-elle inversible dans l’anneau \(\Z/131\Z\). Si oui, calcul ...
exo7 7409
Quels sont les éléments inversibles de l’anneau \((\Z/11\Z)\) ?