Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
a) Généralités
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
La fonction $f$ est convexe sur $I$ si, pour tous $(x, y) \in I^2$ et $\lambda \in [0, 1]$, $f\big((1 - \lambda)x + \lambda y\big) \leqslant (1 - \lambda)f(x) + \lambda f(y)$. | Interprétation géométrique. |
Inégalité de Jensen : si $f$ est une fonction convexe sur un intervalle $I$, on a l’inégalité $\displaystyle f\Big(\sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i\Big) \leqslant \sum_{i=1}^{n} \lambda_i f(x_i)$ quels que soient les réels positifs $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ de somme 1 et quels que soient les éléments $x_1, \dots, x_n$ de $I$. Caractérisation de la convexité par la croissance des pentes. Position du graphe d’une fonction convexe par rapport à ses sécantes. | Tout développement général sur les barycentres est hors programme. |
exo7 1729
Soient \(n \in \Nn^*\) et \(x_1, \ldots, x_n \in ]0, + \infty[\).
exo7 1730
Soit \(f\) une fonction \(C^2\) sur \(\Rr\) conv ...
exo7 1731
Soient \(p\) et \(q \in ]0, + \infty[\) tels que ...
exo7 1732
Soit \(f \in C^2 (\Rr)\) convexe.
exo7 1733
\(I\subset {\Rr}^{+*}\) un intervalle de ...
exo7 1734
Soit \(f :{\Rr}\rightarrow {\Rr}\) convexe majorée. Que dire de \(f\) ? Et si ...
exo7 1736
Montrer que : ...
exo7 1737
Soit \(f:{\Rr}\rightarrow {\Rr }\) continue telle que : ...
exo7 1738
Soit \(f:I\rightarrow {\Rr}\) convexe ou \(I\) est un intervalle ouvert de ...
exo7 1739
Soit \(g\in C({\Rr},{\Rr})\), montrer que \(g\) est convexe si et seulement si : ...
exo7 1775
Soit \(C\) une partie convexe de \({\Rr}^{2},\) montrer que ...
exo7 1965
Montrer que l’intersection de deux parties convexes est convexe. Est-ce vrai pour l’union ?
exo7 1966
Soient \(C\) et \(C^{\prime }\) deux ensembles convexes d’un espace affine, montr ...
exo7 1970
Soit \(E\) un espace affine de dimension \(n,\) et ...
exo7 3806
Soient \(A,B\) des matrices de \(\mathcal{M}_n(\R)\) symétriques et ...
exo7 3981
Soit \(f : \R \to \R\) convexe et \(x < y < z\). Montrer que ...
exo7 3982
Soient \(x_1, x_2, \dots, x_n > 0\). Montrer que ...
exo7 3983
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) convexe. Montrer que l’on a :
– soit \(f\) est ...
exo7 3984
Soit \(f : {\R^+} \to {\R}\) convexe et bornée. Montrer que \(f\) est décroissant ...
exo7 3985
Soit \(f : {\R^{+*}} \to \R\) convexe et \(g : {\R^{+*}} \to \R\) affine. On su ...
exo7 3986
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) convexe telle que \({\cal C}_f\) admet une asymptote d ...
exo7 3987
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) convexe dérivable. Montrer que \(f'\) est continue ...
exo7 3990
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R}\) continue telle que : ...
exo7 3993
Soit \(f : {\R} \to {\R^{+*}}\). Montrer que : (\(\ln f\) est convexe) ...
exo7 3994
Soit \(f : \R \to \R\) convexe dérivable.
exo7 3995
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to {[0,+\infty[}\) concave.
exo7 3998
Soit \(f : \R \to \R\) dérivable telle que : ...
exo7 3999
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) continue. On suppose que : ...
exo7 4000
Soit \((a_n)\) une suite bornée de réels. On pose ...
exo7 4001
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions convexes sur \([a,b]\) convergeant simpleme ...
exo7 4002
Soit \(f:\R \to \R\) convexe dérivable telle que ...
exo7 4003
Soit \(f\) continue et croissante sur \(\R^+\). On pose ...
exo7 4174
Soit \(U\) un ouvert convexe de \(\R^n\) et ...
exo7 4223
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) continue et \(g : \R \to \R\) continue convexe.
...exo7 4248
Soit \(f:\R \to \R\) convexe et \(g(x) = \int_{t=x-1}^{x+1} f(t)\,d t\). Montrer ...
exo7 4258
Soit \((f_i)\) une famille de fonctions convexes sur un intervalle \(I\).
...
exo7 4354
Montrer que \(\Gamma(x+1) \sim x^xe^{-x}\sqrt{2\pi x}\) pour \(x\) réel tendant v ...
exo7 4773
Soit \(E\) un espace vectoriel réel. On considère une application ...
exo7 4785
Soit \(A\) une partie convexe d’un evn \(E\).
exo7 5410
Soit \(f\) une fonction convexe sur un intervalle ouvert \(I\) de ...
exo7 5411
Soient \(x_1\), \(x_2\),..., \(x_n\), ...
exo7 5794
Soit \(A\) une matrice carrée réelle symétrique positive de format \(n\). Montrer ...
exo7 5840
Inégalités de Hölder et de Minkowski. Soit ...
exo7 6056
Montrer que dans un espace normé, la boule unité est convexe.
Réciproquement, supposons que l’espace vectoriel soit muni d’une application ...
exo7 6163
Soit \(f\) une application continue de \([a,b]\) dans ...
exo7 6196
Soit \(K\) un convexe compact symétrique de \(\Rr^n\) contenant ...
exo7 7253
On dit qu’une partie \(X\) du plan (ou de l’espace) est convexe si elle vérifie: ...