Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
B - Déterminants
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Les objectifs de cette partie sont les suivants :
- introduire la notion de déterminant d’une famille de vecteurs, en motivant sa construction par la géométrie ;
- établir les principales propriétés des déterminants des matrices carrées et des endomorphismes ;
- indiquer quelques méthodes simples de calcul de déterminants.
- a) Formes $n$-linéaires alternées 5
- b) Déterminant d’une famille de vecteurs dans une base 47
- c) Déterminant d’un endomorphisme 5
- d) Déterminant d’une matrice carrée 260
- e) Calcul des déterminants 133
- f) Comatrice 16
exo7 1145
Soit \(a\) un réel. On note \(\Delta_n\) le déterminant suivant : ...
exo7 1146
Soit \(a\) un réel différent de 1. Pour \(n\in\N\), ...
exo7 1147
Soient \(a,b,c\) trois réels et \(\Delta_{n}\) le déterminant de taille ...
exo7 1148
Calculer le déterminant suivant : ...
exo7 1149
Soit \(\Delta_{n}\) le déterminant de taille \(n\) suivant : ...
exo7 1150
Soit \(u\) l’application de \(\R_{n}[X]\) dans ...
exo7 1152
Inverser les matrices ...
exo7 1153
Montrer que ...
exo7 1154
Une matrice carrée \(A=(a_{ij})_{i,j\in \{ 1,\ldots, n \} }\in M_n({\Rr})\) est dite triangulaire supérieure lorsq ...
exo7 1155
On considère les matrices :
...
exo7 1156
Soit \(S\) la matrice \(5 \times 5\) à coefficients réels : ...
exo7 1157
Soit \(A \in M_3 (\Rr)\) anti-symétrique. Calculer \(\det (A)\). Ce résultat vaut ...
exo7 1158
Soient \(n = 2\) ou \(3\) et \(A \in M_n (\Qq)\) ...
exo7 1159
Soit \(\left( A,B\right) \in M_{n}({\Rr})^{2}\) tel que \(A^{2}+B^{2}=AB\) et ...
exo7 1160
Montrer que si \(n\in \Nn-\{0,1\},A\in M_{n}({\Rr})\), on a : ...
exo7 1162
Soit \(A=\left( a_{i,j}\right) _{(i,j)\in \{1,...,n\}^{2}}\in M_{n}({\Rr})\) telle que : ...
exo7 1172
Calculer les déterminants suivants. ...
exo7 1175
Pour tout \(a\) réel, on considère la matrice \(A\) et le système linéaire ...
exo7 1183
Résoudre \(\begin{cases} -cy + bz = \alpha \\ cx-az = \beta \\ -bx + ay = \gamma \end{cases}\).
exo7 1186
L’objectif de ce problème est de résoudre l’énigme du berger :
Un berger possède un troupeau de 101 moutons et remarque par hasard la
proprié ...
exo7 1187
Pour quelles valeurs de \(a\) la matrice ...
exo7 1314
Pour la multiplication usuelles des matrices carrées, les ensembles suivants sont-ils des groupes : ...
exo7 1321
On nomme \(M_n({\Zz})\) l’ensemble des matrices de taille \(n\times n\) à coeffic ...
exo7 1408
Dans \(\R^{n}\), on désigne par \((e_{1},...,e_{n})\) la base canonique. A une pe ...
exo7 1413
Soit \(GL_2(\Rr)\) l’ensemble des matrices inversibles \(2\times 2\) à cœfficient ...
exo7 1532
Soit \((E,<,>)\) un espace euclidien de dimension \(p\). A chaque ...
exo7 1556
Soient \(A=\left(a_{ij}\right)_{1\le i,j\le n}\in\mathcal{O}_n(\Rr)\) et ...
exo7 1589
Montrer que \(P=(X-1)^2(X-2)\) est un polynôme annulateur de la matrice ...
exo7 1595
On considére la matrice ...
exo7 1598
Soit \(A \in \mathcal{O}_n(\R)\). Montrer que si \(-1\) n’est pas valeur propre d ...
exo7 1602
Soit \(u\in\mathrm{End}(E)\). On note ...
exo7 1606
Soit \(J\) la matrice ...
exo7 1608
Soit \(M\) la matrice suivante : ...
exo7 1615
Soit \(A=\left (\begin{array}{cc} 1&4\\2&3\end{array}\right ).\) Trouver les valeurs propres de ...
exo7 1617
Soit \(A=\left (\begin{array}{ccc} 1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right ).\) Trouver, sans ...
exo7 1620
On considère la matrice ...
exo7 1623
Pour quelles valeurs de \((a,b,c)\in\C^{2}\) la matrice ...
exo7 1629
Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables, triangularisables ? Si oui, les réduire. ...
exo7 1632
Soit \(\alpha\) et \(\beta\) deux réels, et ...
exo7 1641
Déterminer les valeurs propres des matrices suivantes. Sont-elles diagonalisables, triangularisables ?
...
exo7 1674
Soit \(\theta\in]0,\pi[\). On considère les deux matrices d’ordre \(n\):
...
exo7 1711
Soit \(a\) un réel. On considère le système à \(n\) équations et ...
exo7 1712
On considère la matrice ...
exo7 1899
Soit \(A\in M_n(\Cc )\). Montrer quil existe une suite de matrices ...
exo7 2112
Montrer que l’ensemble des matrices carrées à \(n\) lignes et \(n\) colonnes de d ...
exo7 2123
On pose ...
exo7 2211
Démontrer l’identité \[(A + UBV)^{-1} = A^{-1} -A^{-1} U( I+BVA^{-1}U)^{-1} BVA^{-1}\] en précisant:
-
...
exo7 2215
Soient
\(H=\)span\(\{v_1, \cdots , v_r\}\) le sous–espace vectori ...
exo7 2229
Soit \(v\) un vecteur réel vérifiant \(v^Tv=1\). Montrer que la matrice de Househ ...
exo7 2445
Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\) vérifiant pour tout ...