Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
Fonctions de deux variables
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Le but de cette section, dont le contenu sera entièrement repris dans un cadre plus général en seconde année, est de familiariser les étudiants avec les calculs sur les dérivées partielles, notamment avec la « règle de la chaîne », et de développer une vision géométrique des fonctions de deux variables. Le point de vue est donc essentiellement pratique. Toute extension et tout développement théorique supplémentaire sont hors programme.
- a) Ouverts de $\mathbb{R}^2$, fonctions continues 75
- b) Dérivées partielles 225
- c) Dérivées partielles et composées 80
- d) Extremums 74
exo7 4216
Pour \((x,y) \in {\R^2}\), on pose \(u = x^2-y^2\), ...
exo7 4217
Soit \(f : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) et ...
exo7 4218
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) et ...
exo7 4219
Trouver les fonctions \(g : {\{(u,v)\in\R^2\text{ tq } u > v\}} \to \R\) de classe ...
exo7 4343
On pose \(I(x) = \int_{t=0}^{\pi/2} \ln(\cos^2t + x^2\sin^2t)\,d t\).
exo7 4350
Soit \(f:\R \to \R\) continue. On définit pour \(x \in \R^*\) et ...
exo7 4547
Pour \(y\in\R\) et \(n\in\N^*\), on pose ...
exo7 4728
Déterminer toutes les fonctions \(f : \R \to \R\) continues, périodiques de pé ...
exo7 4790
Soit \(f:\R \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4791
Soit \(f : {\R^2} \to \R\) continue. On pose ...
exo7 4793
On note \(\Omega = \R^2\setminus \{(0,0)\}\) et ...
exo7 4794
Trouver une fonction \(f : {\R^2} \to \R\) discontinue en \((0,0)\) mais telle qu ...
exo7 4822
Soit \(u\) une application linéaire de \(\R^n\) dans ...
exo7 4838
Soit \(\|.\|\) une norme sur \(\R^2\), ...
exo7 4855
Soit \({\vec f} : {I\subset \R} \to {\R^3}\) une fonction de classe ...
exo7 5555
Déterminer la classe de \(f\) sur \(\Rr^2\) où ...
exo7 5556
Soit ...
exo7 5558
Trouver les extrema locaux de
exo7 5559
Maximum du produit des distances aux cotés d’un triangle \(ABC\) du plan d’un point ...
exo7 5560
Soit \(a\) un réel strictement positif donné. Trouver le minimum de ...
exo7 5561
Trouver toutes les applications \(\varphi\) de \(\Rr\) dans ...
exo7 5562
Trouver toutes les applications \(f\) de \(\Rr^2\) dans ...
exo7 5766
Pour \(x\in\Rr\), on pose ...
exo7 5767
Pour \(x\in\Rr\), on pose \(F(x)=\int_{0}^{1}\frac{e^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2}\;dt\) ...
exo7 5771
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur ...
exo7 5888
Pour \((x,y)\in\Rr^2\), on pose ...
exo7 5889
Soit ...
exo7 5890
Montrer que ...
exo7 5893
Soit \(f\) une application de \(\Rr^n\) dans ...
exo7 5894
Extremums des fonctions suivantes :
exo7 5898
Résoudre les équations aux dérivées partielles suivantes :
exo7 5901
\(E =\Rr^n\) est muni de sa structure euclidienne usuelle. Montrer que ...
exo7 5902
Maximum du produit des distances d’un point \(M\) intérieur à un triangle \(ABC\) ...
exo7 5903
Minimum de \(f(x,y) =\sqrt{x^2+(y-a)^2}+\sqrt{(x-a)^2+y^2}\), \(a\) réel donné. ...
exo7 6058
On considère dans \({\Rr}^2\) les 4 boules euclidiennes fermées de rayon \(1\) ce ...
exo7 6081
Soit \(f\) une application ouverte de \(X\) dans ...
exo7 6119
Montrer que le carré unité fermé et le disque fermé dans \({\Rr}^2\) sont homéomorphes.
exo7 6290
Trouver les applications \(G: \Rr^2 \to \Rr\) de classe \(C^2\) telles que ...
exo7 6292
Une fonction \(f:U \subset \Rr^n \to \Rr\) est dite harmonique si ...
exo7 6293
Vérifiez que les fonctions suivantes sont harmoniques dans \(\Rr^2\) :
exo7 6294
Exprimez en coordonnées polaires : ...
exo7 6299
\(\Delta(fg) = f\Delta g + g\Delta f + \langle \nabla f \mid \nabla g \rangle\).
exo7 6302
Déterminer approximativement la valeur de \(1,05^{1,02}\) avec une erreur d’au plus ...
exo7 6303
Montrer que si \(x = 1,32 \pm 10^{-2}\) et \(y = 0,45 \pm 10^{-2}\), alors ...
exo7 6304
Ecrire le développement de Taylor-Young à l’ordre 2 au voisinage de (0,0) pour la fonction ...
exo7 6305
Soit \(f(x,y)\) une fonction de classe \(C^2\) au voisinage du cercle ...
exo7 6306
Déterminer les extremums (locaux et/ou globaux) de:
exo7 6307
Discuter, suivant les valeurs du paramètre réel \(\lambda\), la nature des extremums de la fonction ...
exo7 6311
Déterminer les extremums de la fonction \(f(x,y) =xy\) sur le cercle unité ...
exo7 6805
Soit \(f:\Rr^2 \to \Rr^2\) définie par \(f(x,y) = (x^2-y, x^2 + y^2)\). On défini ...