Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
a) Généralités sur les fonctions
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Ensemble de définition. | |
Représentation graphique d’une fonction $f$ à valeurs réelles. | Les étudiants doivent savoir déduire de la représentation graphique de $f$ celles de fonctions obtenues par des transformations simples, comme $x \mapsto f(x + a)$ ou $x \mapsto f(ax)$. |
Parité, imparité, périodicité. | Interprétation géométrique de ces propriétés. Utilisation pour la réduction du domaine d’étude. |
Somme, produit, composée. Monotonie (large et stricte). | |
Fonctions majorées, minorées, bornées. | Traduction géométrique de ces propriétés. La fonction $f$ est bornée si et seulement si $\lvert f\rvert$ est majorée. |
exo7 4628
Montrer que : \(\forall\ x \in \R,\ |\sin x| = \frac8\pi\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin^2nx}{4n^2-1}\).
exo7 4646
Trouver les fonctions \(f:\R \to \R\) \(2\pi\)-périodiques de classe ...
exo7 4667
Soit \(f\) à valeurs réelles, de classe \(\mathcal{C}^{2}\), ...
exo7 4728
Déterminer toutes les fonctions \(f : \R \to \R\) continues, périodiques de pé ...
exo7 479
Soient \(n\in \Nn^{*}\) et \(a_{1}\leq a_{2}\leq ...\leq a_{n}\), ...
exo7 480
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\), \(f(x) = x^3-3x\). Tracer les graphes des fonct ...
exo7 482
Soit \(A= \mathbb{Q}\cap\mathopen]0,1 \mathclose[\) et \(a,b\in\mathbb{R}_+\). On ...
exo7 487
Démontrer par récurrence sur \(n\) que pour tout \(n\geq 2\) l’implication ...
exo7 493
Pout tout \(x\in \Rr\) on note \(E(x)\) sa partie entière et ...
exo7 497
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) telle que ...
exo7 5084
Domaine de définition et calcul des fonctions suivantes :
exo7 5097
Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(\Rr\) à valeurs dans ...
exo7 5102
Construire le graphe des fonctions suivantes :
exo7 5151
Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois réels positif ...
exo7 5161
Montrer que \(\forall n\in\Nn,\;(n\geq3\Rightarrow\sqrt{n}<\sqrt[n]{n!})\).
(commencer par vérifier que ...
exo7 5219
Montrer que \(\{r^3,\;r\in\Qq\}\) est dense dans \(\Rr\).
exo7 5391
Soit \(f\) une fonction continue et périodique sur \(\Rr\) à valeurs dans ...
exo7 5395
Soit \(f\) croissante de \([a,b]\) dans lui-même. Montrer que ...
exo7 5402
Soit \(f\) une application continue sur un intervalle \(I\) de ...
exo7 5403
Trouver un exemple de fonction pèriodique dont le groupe des pèriodes est dense dans \(\Rr\) mais pas ...
exo7 5405
Trouver les fonctions bijectives de \([0,1]\) sur lui-même vérifiant ...
exo7 5406
Soit \(f\) une application de \([0,1]\) dans ...
exo7 5407
Soit \(f\in C^1([a,b],\Rr)\) telle que ...
exo7 5443
Etude complète des fonctions suivantes
exo7 5449
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions continues strictement positives sur \([a,b]\) ...
exo7 5460
Etude complète de \(F(x)=\int_{x}^{2x}\frac{dt}{\sqrt{t^4+t^2+1}}\).
exo7 5461
Trouver toutes les applications continues sur \(\Rr\) vérifiant : ...
exo7 5472
Etude de \(f(x)=\int_{-1}^{1}\frac{\sin x}{1-2t\cos x+t^2}\;dt\).
exo7 5481
Soit \(a\) un réel non nul. Soit \(f\) continue sur ...
exo7 5735
Pour \(n\in\Nn^*\) et \(t\in\Rr\), soit ...
exo7 5766
Pour \(x\in\Rr\), on pose ...
exo7 5781
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\Rr\), ...
exo7 5851
Soit \(f~:~\Rr\rightarrow\Rr\) une application uniformément continue sur \(\Rr\). ...
exo7 5922
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on définit \(f_{n}~:]0,1]\rightarrow\mathbb{R}\) pa ...
exo7 6066
Soit \(f\) une isométrie de \(\R\) dans \(\R\). ...
exo7 6068
Soit \(f\) une application continue de \(\R\) dans ...
exo7 6069
Soit \(f\) une application de \(\R\) dans \(\R\) ...
exo7 6071
On note pour tout \(x\in \Rr, \ \varphi(x)=\) dist\((x,\Zz)\).
exo7 612
Montrer que toute fonction périodique et non constante n’admet pas de limite en \(+\infty\).
exo7 615
Soit \(f : \Rr^+ \rightarrow \Rr^+\) croissante telle que ...
exo7 619
Pour tout \(n\) entier naturel et tout couple de réels \((x,y)\), établir la form ...
exo7 628
Calculer, lorsqu’elles existent, les limites suivantes : ...
exo7 639
Soit \(I\) un intervalle ouvert de \(\Rr\), ...
exo7 650
Soit \(f\) périodique croissante. Que dire de \(f\) ?
exo7 652
Soit \(f\) continue sur \(\Rr\) admettant \(1\) ...
exo7 654
Soit \(f:\Rr^{+*}\rightarrow \Rr\) croissante telle que ...
exo7 656
Soit \(f:{\Rr}^{+}\rightarrow {\Rr}\) croissante. Construire ...
exo7 671
Soit \(f\) la fonction réelle à valeurs réelles définie par ...
exo7 676
Montrer que l’application \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) définie par ...
exo7 682
Soit \(f : [0,1]\longrightarrow \R\) définie par \(f(0)=0\), ...