Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
i) Suites particulières
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques. | Pour une relation de récurrence $u_{n+1} = au_n + b$ où $a \in \mathbb{C} \setminus \{1\}$ et $b \in \mathbb{C}$, recherche d’une solution constante, détermination des solutions. |
Suites récurrentes linéaires homogènes d’ordre 2 à coefficients constants. | |
Présentation de l’étude des suites définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ sur quelques exemples simples. Représentation géométrique. Si $(u_n)$ converge vers un élément $\ell$ en lequel $f$ est continue, alors $f(\ell) = \ell$. | Cette étude est l’occasion d’introduire la notion d’intervalle stable par une fonction. Pour l’étude de la monotonie de $(u_n)$, on souligne l’intérêt, d’une part, de l’étude du signe de $f(x) - x$, et, d’autre part, de l’utilisation de la croissance éventuelle de $f$. |
exo7 580
Étudier la suite définie par récurrence : \[u_{0}=a>0,u_{n+1}=\sqrt{1+u_{n}.}\]
exo7 592
Soit \(f:\Cc\rightarrow \Cc\) définie par : ...
exo7 5932
Cet exercice fournit une autre méthode de calcul du volume de la boule unité \(\mathcal{B}_{n}\) de ...
exo7 598
Étude de \((u_{n})_{n\in \Nn }\) définie par : ...
exo7 600
Étudier la suite \((u_{n})_{n\in \Nn}\) définie par \(u_{0}=1\) et ...
exo7 601
Soit \((u_{n})_{n\in \Nn}\) la suite définie par \(u_{n+1}=u_{n}+u_{n}^{2}.\) L’é ...
exo7 602
Soient \(f\) et \(g\) deux formes linéaires sur un espace vectoriel ...
exo7 603
Étudier la suite \((u_{n})_{n\in \Nn}\) définie par : ...
exo7 6071
On note pour tout \(x\in \Rr, \ \varphi(x)=\) dist\((x,\Zz)\).
exo7 6190
On considère une suite \((x_n)\) de \([0,1]\) telle que ...
exo7 684
En étudiant la suite \(u_0 \in \Rr\) et \(u_{n + 1} = \cos (u_n)\), déterminer u ...
exo7 7014
Soit \((u_n)_{n\in\N}\) la suite de nombres réels définie par \(u_0=0\) et pour t ...
exo7 7015
Soit \((u_n)_{n\in\N}\) la suite de nombres réels définie par \(u_0=1\), ...
exo7 7021
Définissons une suite par \(u_0=1\) et pour tout \(n \in\N\), ...
exo7 7022
On considère la suite réelle \((u_n)_{n\in\N}\) définie par \(u_0=2\) et pour tou ...
exo7 7042
Soit \((u_n)_{n\in\N}\) la suite réelle définie par \(u_0=2\), ...
exo7 7043
Soit \((u_n)_{n\in\N}\) la suite réelle définie par \(u_0=1\) et pour tout ...
exo7 7151
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec u, \vec v)\). On note ...
exo7 7154
Soient \(A\) et \(B_0\) deux points et soit ...
exo7 736
Soit \(f\) dérivable sur \({\Rr }\) telle que ...
Expressions en fonction de $n$
Déterminer l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\) pour les suites suivantes ...
Justifications
Les suites suivantes sont elles arithmétiques ? géométriques ?
La cellule LSTM à la main
Une cellule LSTM maintient deux vecteurs d’état : la cell state \(c_t \in \mathbb{R}\) et l’état caché ...
Suite récurrente I
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=1\) et pour tout ...
Suite récurrente III
On considère la suite \((u_n)\) définie par ...
Suites et point fixe II
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\R\) par : ...