Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
f) Polynômes irréductibles de $\mathbb{C}[X]$ et $\mathbb{R}[X]$
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Théorème de d’Alembert-Gauss. | La démonstration est hors programme. |
Polynômes irréductibles de $\mathbb{C}[X]$. Théorème de décomposition en facteurs irréductibles dans $\mathbb{C}[X]$. | Caractérisation de la divisibilité dans $\mathbb{C}[X]$ à l’aide des racines et des multiplicités. Deux polynômes de $\mathbb{C}[X]$ sont premiers entre eux si et seulement s’ils n’ont pas de racine commune. Factorisation de $X^n - 1$ dans $\mathbb{C}[X]$. |
Polynômes irréductibles de $\mathbb{R}[X]$. Théorème de décomposition en facteurs irréductibles dans $\mathbb{R}[X]$. | Deux racines complexes conjuguées d’un polynôme de $\mathbb{R}[X]$ ont même multiplicité. |
exo7 425
Déterminer, s’il en existe, tous les idéaux \(J\) de \(\mathbb{R}[X]\) tels que : ...
exo7 431
Résoudre l’équation d’inconnue \(P\in \Cc[X]:P(X+1)P(X)=-P(X^{2}).\)
exo7 436
Lemme : Soit \(P\in \Cc[X]\) non constant, \(z_{0}\in \Cc,\) montrer que ...
exo7 437
Soit \(n\in \Nn^{*},\) et \(P(X)=(X+1)^{n}-(X-1)^{n}.\) Quel est le degré de ...
exo7 442
Soit \(P=X^4-5X^3+9X^2-15X+18\in\Cc[X]\). Déterminer toutes les racines complexes de ...
exo7 443
Décomposer les fractions rationnelles suivantes : \[\frac{3}{X^3 + 1} \text{ sur } \Cc \text{ puis sur } \Rr\] ...
exo7 444
Décomposer \(\frac{X^3-3X^2+X-4}{X-1}\) en éléments simples sur \(\mathbb{R}\). ...
exo7 450
On appelle valuation une application \(v :\Cc(X)\rightarrow {\Zz}\cup \{\infty \}\) telle que : ...
exo7 5317
Déterminer le PGCD de \(X^6-7X^4+8X^3-7X+7\) et \(3X^5-7X^3+3X^2-7\).
exo7 5319
Soit \(P\) un polynôme à coefficients réels tel que ...
exo7 5325
Trouver tous les polynômes divisibles par leur dérivée.
exo7 5327
Trouver les polynômes \(P\) de \(\Rr[X]\) vérifiant ...
exo7 5332
Factoriser dans \(\Cc[X]\) le polynôme \(12X^4+X^3+15X^2-20X+4\).
exo7 5342
Décomposer en produit de facteurs irréductibles dans \(\Rr[X]\) le polynôme ...
exo7 5344
Résoudre dans \(\Cc\) les équations suivantes :
exo7 5348
Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\). Pour ...
exo7 5352
Résoudre dans \(\Cc\) l’équation \(z^4-21z+8=0\) sachant qu’il existe deux des so ...
exo7 6532
Soit \(a\in \Z\) un nombre sans facteurs carrés, \(a\not\in \{ -1,\; 0,\; 1\}\). ...
exo7 6534
Montrer que \(X^2+1\) est irréductible en tant qu’élément de \(\Q[X]\) mais réduc ...
exo7 6535
Si \(\mathbb{F}\) est un corps, montrer qu’un polynôme \(P\) de degré 2 ou 3 dans ...
exo7 6539
Soit \(p\in \N^*\) un nombre premier. Montrer que les polynômes ...
exo7 6545
Soit \(K\) un corps et soit \(K(X)\) le corps des fractions de l’anneau ...
exo7 6959
Factoriser dans \(\Rr[X]\) et \(\Cc[X]\) les polynômes suivants : ...
exo7 6968
Décomposer les fractions suivantes en éléments simples sur \(\Rr\), en raisonnant par substitution pour obtenir le ...
exo7 7318
Soit \(K\) un corps, et \(P \in K[X]\). Les assertions suivantes sont elles vraie ...
exo7 7319
Soit \(P = X^4 + 1 \in \C[X]\).
exo7 826
Calculer les primitives suivantes : ...
Factorisation d'un polynôme
Soient les polynômes \(P,Q \in \R[X]\) définis par ...
Factorisation de polynôme et décomposition en éléments simples
On pose le polynôme \[Q(X)=X^3-(\sqrt{2}+5)X^2+(1+5\sqrt{2})X-5.\]
Multiplicité d'une racine et factorisation d'un polynôme
Déterminer l’ordre de multiplicité de la racine \(x_0\) du polynôme \(P\), et en ...
Polynômes et décomposition en facteurs irréductibles
L’enjeu de cet exercice est la factorisation du polynôme \(R(X)=X^9+X^6+X^3+1\).
Polynômes — division euclidienne, factorisation et éléments simples
Pour \(n \in \mathbb{N}\), on considère le polynôme \(P_n(X) = X^n + 3X - 2\). On ...