Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
b) Structure de groupe
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Groupe. | Notation $x^n$ dans un groupe multiplicatif, $nx$ dans un groupe additif. Exemples usuels : groupes additifs $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, groupes multiplicatifs $\mathbb{Q}^*$, $\mathbb{Q}_+^*$, $\mathbb{R}^*$, $\mathbb{R}_+^*$, $\mathbb{C}^*$, $\mathbb{U}$, $\mathbb{U}_n$. |
Groupe des permutations d’un ensemble. Groupe produit. Sous-groupe : définition, caractérisation. Morphisme de groupes. Image et image réciproque d’un sous-groupe par un morphisme. | Notation $S_X$. |
Image et noyau d’un morphisme. Condition d’injectivité. Isomorphisme. | Notations $\operatorname{Im} f$, $\operatorname{Ker} f$. |
exo7 2126
Déterminer tous les sous-groupes de \(\mu_2 \times \mu_2\).
exo7 2127
Soient \(G\) un groupe fini et commutatif et \(\{ G_i\} _{i\in I }\) la famille d ...
exo7 2128
Déterminer tous les groupes d’ordre \(\leq 5\). En déduire qu’un groupe non commutatif possède au moins 6 éléments ...
exo7 2129
Le centre d’un groupe \(G\) est l’ensemble \(Z(G)\) des éléments de ...
exo7 2130
Soient \(G\) un groupe et \(H\) et \(K\) deux so ...
exo7 2131
Déterminer tous les sous-groupes du groupe symétrique \(S_3\).
exo7 2132
Montrer que dans un groupe d’ordre \(35\), il existe un élément d’ordre ...
exo7 2133
Soit \(G\) un groupe d’ordre \(2p\) avec \(p\) u ...
exo7 218
Montrer que \(a*b = \dfrac{a + b}{1 + ab}\) est une l.c.i sur \(]-1, 1[\) et déte ...
exo7 2255
Les éléments inversibles d’un anneau \(A\) forment le groupe multiplicatif ...
exo7 2438
Soit \(G\) l’ensemble des matrices d’ordre 2 inversibles.
exo7 2439
Soit \(G\) l’ensemble des matrices de la forme ...
exo7 2440
Soit \(G\) le groupe multiplicatif des matrices complexes d’ordre \(n\). Parmi le ...
exo7 2660
Montrer qu’un groupe \(G\) dont les seuls sous-groupes sont \(G\) et ...
exo7 2661
Soit \(G\) un groupe multiplicatif (c’est-à-dire dont la loi est notée multiplicativemen ...
exo7 2662
Montrer que les éléments d’ordre fini d’un groupe commutatif \(G\) forment un sous-group ...
exo7 2663
Soit \(G\) un groupe commutatif multiplicatif, \(a\) et ...
exo7 2664
Montrer qu’un groupe fini dont l’ordre est un nombre premier est cyclique.
exo7 2665
Soient \(\sigma\) et \(\tau\) deux transpositions de ...
exo7 2668
Matrices de permutation
Soit \(n\in\N^*\) et \(K\) un corps. Montrer que l ...
exo7 2669
Soit \(\sigma\in S_n\) et \(c=(a_1\ a_2\ \dots\ a_k)\) un cycle. Quelle est la na ...
exo7 2670
Expliciter les 24 rotations de l’espace laissant un cube de sommets \(A_1, A_2, \dots, A_8\) invariant.
D ...
exo7 2727
On munit l'ensemble $G = \{a, b, c, d\}$ d'une loi de composition interne dont la table de Pythagore est ...
exo7 2729
Montrer que les ensembles \(G\) suivants, munis des lois \(\star\) données, sont ...
exo7 2730
Dire pour quelle(s) raison(s) les opérations \(\star\) suivantes ne munissent pas les ensembles ...
exo7 287
Montrer que l’intersection de deux sous-groupes de \(\mathbb{Z}\) est un sous-groupe de ...
exo7 288
Déterminer \(2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}\). Est-ce un sous-groupe de ...
exo7 289
Soit \(A\) une partie non vide de \(\mathbb{Z}\) ; montrer que la famille des sou ...
exo7 2963
On définit l’opération dans \(\Z^2\) : ...
exo7 2965
Soient \(G,H\) deux groupes multiplicatifs. On munit \(G\times H\) de l’opé ...
exo7 2966
Les opérations suivantes sont-elles des lois de groupe ?
exo7 2967
Soit \(G\) un ensemble non vide muni d’une opération interne ...
exo7 2968
Soit \(G\) un groupe multiplicatif, \(E\) un ensemble, et ...
exo7 2969
Pour tout \(x,y \in \R\), on pose \(x \star y = x \sqrt{1+y^2} + y \sqrt{1+x^2}\) ...
exo7 2970
Pour tout \(x,y \in \R\), on pose \(x \star y = \sqrt[\scriptstyle 3]{x^3+y^3}\). ...
exo7 2971
Soit \(E\) un ensemble fini muni d’une opération interne \(*\) assoc ...
exo7 2972
Soit \(G\) un groupe multiplicatif et \(H\) une partie finie de ...
exo7 2973
Soit \(G\) un groupe multiplicatif. On note \(Z(G) = \{ a \in G\) tq ...
exo7 2974
Soit \(E\) un ensemble et \(G = {\cal P}(E)\).
exo7 2975
Soit \(G\) un groupe additif, et \(H,K,L\) trois sous-groupes de ...
exo7 2976
Soit \(G\) un groupe fini et \(H,K\) deux sous-groupes de ...
exo7 2977
Soit \(G\) un groupe multiplicatif. On note Aut\((G)\) l’ensemble des isomorphism ...
exo7 2979
Soit \(G\) un groupe additif et \(f : G \to {G'}\) un morphisme de groupes. ...
exo7 2980
Soit \(G\) un groupe cyclique engendré par \(a\) d’ordre ...
exo7 2981
Déterminer tous les morphismes de
exo7 2982
Déterminer tous les sous-groupes finis de \((\C^*,\times)\).
exo7 2983
Soient \(G\) et \(G'\) deux groupes et \(f\) ...
exo7 2984
Soient \(a,b\) deux éléments d’un groupe multiplicatif ...
exo7 2985
Soit \(G\) un groupe multiplicatif et \(a \in G\) d’ordre ...
exo7 2986
Soit \(G\) un groupe n’ayant pas de sous-groupe non trivial. Montrer que \(G\) es ...