Programme de mathématiques PC
Endomorphismes des espaces euclidiens
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Cette section vise les objectifs suivants :
- consolider les acquis de la classe de première année sur les espaces préhilbertiens réels ;
- étudier isométries vectorielles et matrices orthogonales, et les décrire en dimension deux en insistant sur les représentations géométriques ;
- approfondir la thématique de réduction des endomorphismes dans le cadre euclidien en énonçant les formes géométrique et matricielle du théorème spectral ;
- introduire la notion d’endomorphisme autoadjoint positif, qui trouvera notamment son application au calcul différentiel d’ordre 2.
Pour les applications courantes en dimension trois, on peut au besoin recourir au produit vectoriel, déjà introduit et connu des étudiants dans l’enseignement des sciences physiques notamment.
La notion d’adjoint est hors programme.
- a) Isométries vectorielles d’un espace euclidien 109
- b) Matrices orthogonales 83
- c) Isométries vectorielles d’un plan euclidien 53
- d) Réduction des endomorphismes autoadjoints et des matrices symétriques réelles 52
exo7 1598
Soit \(A \in \mathcal{O}_n(\R)\). Montrer que si \(-1\) n’est pas valeur propre d ...
exo7 1639
Soit \(A\) la matrice ...
exo7 1642
Soit \(A\) la matrice ...
exo7 1645
Soient \(\R^n\) euclidien, \(f \in \textbf{O}_n(\R)\). Montrer que ...
exo7 1646
Diagonaliser en base orthonormale les matrices suivantes : ...
exo7 1647
Montrer que si \(A\) est une matrice symétrique réelle, alors \(A + iI\) est inve ...
exo7 1984
Soit \(E\) euclidien orienté de dimension 3 et \(a\in E\).
Soit ...
exo7 1987
Determiner la matrice dans la base canonique de \(\Rr^{3}\) du retournement d’axe ...
exo7 1988
Reconnaître les transformations géométriques dont les matrices respectives dans la base canonique de \(\Rr^{3}\) s ...
exo7 1989
Soit \(R\) une rotation de \(\Rr^{3}\) d’axe ...
exo7 1996
Soit \(G\) un sous-groupe fini de l’ensemble des isométries du plan. Montrer que ...
exo7 2037
On considère \(S_1\) la transformation du plan définie par le système d’équations suivant :
...
exo7 2040
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec{OI},\vec{OJ})\).
exo7 2215
Soient
\(H=\)span\(\{v_1, \cdots , v_r\}\) le sous–espace vectori ...
exo7 2216
Soit \(A\in\Rr^{m\times n}\) de rang \(r\leq p=\min (m,n)\). On considère la déco ...
exo7 2217
Définition: Soit \(\Sigma\) une matrice diagonale de type ...
exo7 2229
Soit \(v\) un vecteur réel vérifiant \(v^Tv=1\). Montrer que la matrice de Househ ...
exo7 2230
Etant donnés \(n\) vecteurs linéairement indépendants de \(\Rr^m\), ...
exo7 2231
Soient \(p,q :\) \(1\leq p < q\leq n\), ...
exo7 2232
Soit \(Z=\left(\begin{array}{cc} c&s\\ -s&c\end{array}\right)\) avec ...
exo7 2234
Soit \(A\in\Rr^{m\times n}\). On veut construire une matrice ...
exo7 2670
Expliciter les 24 rotations de l’espace laissant un cube de sommets \(A_1, A_2, \dots, A_8\) invariant.
D ...
exo7 3537
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\).
exo7 3645
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3671
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(p\), ...
exo7 3673
Soient \(\vec x_1,\dots,\vec x_n\) des vecteurs d’un espace vectoriel euclidien ...
exo7 3677
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\R)\) inversible. Montrer qu’il existe une matrice orthogonale, ...
exo7 3702
Soit \(\rho\) une rotation d’un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3, et ...
exo7 3703
Soient \(f,g \in {\cal O}(\R^3)\) ayant même polynôme caractéristique.
Montrer qu’il existe ...
exo7 3704
Soit \((\vec i,\vec j,\vec k)\) une bond d’un espace vectoriel euclidien orienté de dimensio ...
exo7 3705
Déterminer les sous-groupes de \({\cal O}^+(3)\) de cardinal 2,3, ou 4.
exo7 3706
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(f \in \mathcal{L}(E)\) antisymétriq ...
exo7 3709
Compléter la matrice ...
exo7 3710
Pour tout triplet \((a,b,c)\) de réels on pose ...
exo7 3711
Reconnaître les endomorphismes de \(\R^3\) définis par les expressions analytiques dans la base canonique :
exo7 3712
Déterminer la matrice de la rotation \(\cal R\) de \(\R^3\) dans une base orthono ...
exo7 3729
Soit \(S\) une matrice carrée d’ordre \(n\), à coefficients réels, symétrique déf ...
exo7 3732
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension quelconque, ...
exo7 3733
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3734
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3735
Soit \(\vec v \in E\setminus\{\vec0\}\) et \(\lambda \in \R\). On pose pour ...
exo7 3736
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soient ...
exo7 3737
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soient ...
exo7 3738
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soient ...
exo7 3739
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3741
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3742
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3743
Quels sont-ils ?
exo7 3744
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3745
Soit \(M \in {\cal O}(n)\).