Programme de mathématiques PCSI · semestre 1
Fonctions d’une variable réelle : limites et continuité, dérivabilité
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Dans cette section, on démontre les théorèmes de base relatifs aux fonctions réelles de variable réelle. Dans de nombreuses questions de nature qualitative, on visualise une fonction par son graphe. Il convient de souligner cet aspect géométrique en ayant recours à de nombreuses figures.
Les fonctions sont définies sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ non vide et non réduit à un point et, sauf dans les paragraphes A-d) et B-f), sont à valeurs réelles. On dit qu’une propriété portant sur une fonction $f$ définie sur $I$ est vraie au voisinage de $a$ si elle est vraie sur l’intersection de $I$ avec un intervalle ouvert centré en $a$ si $a$ est réel, avec un intervalle $]A,+\infty[$ si $a=+\infty$, avec un intervalle $]-\infty,A[$ si $a=-\infty$.
L’étude des suites récurrentes $u_{n+1}=f(u_n)$ est l’occasion d’introduire la notion de vitesse de convergence. Sur des exemples, on met en évidence divers comportements (convergence lente, géométrique, quadratique) en explicitant le nombre d’itérations nécessaires pour obtenir une précision donnée. On pourra en particulier présenter la méthode de Newton. De même, l’étude de la dérivabilité donne un prétexte pour présenter la notion de discrétisation, à travers la méthode d’Euler.
exo7 3867
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) telle que : ...
exo7 3868
Trouver toutes les fonctions \(f : {[0,1]} \to {\R}\) continues telles que : ...
exo7 3870
Soit \(f\) continue sur \([a,b]\), à valeurs dans ...
exo7 3871
Soient \({f,g} : {[0,1]} \to {[0,1]}\) continues telles que ...
exo7 3873
Soit \(f : \R \to \R\) une fonction uniformément continue telle que pour tout ...
exo7 3875
Soit \(f : {]0,+\infty[} \to {\R}\) croissante telle que ...
exo7 3876
On pose : ...
exo7 3877
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) une fonction bornée.
On note ...
exo7 3878
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R}\) monotone. Pour \(x \in {]a,b[}\), on pose ...
exo7 3879
Soit \(f : {\R} \to {\R.}\) On dit que \(f\) est localement croissante si : ...
exo7 3880
Soit \(f : {]0,1]} \to {\R}\) uniformément continue. Pour \(x \in {]0,1]}\) on po ...
exo7 3881
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) continue telle que \(f_{|\Q}\) est strictement croissa ...
exo7 3883
Soit \(f : {[0,1]} \to {[0,1]}\) croissante. Montrer qu’il existe ...
exo7 3884
Soit \(f : \R \to \R\) continue telle que : ...
exo7 3885
Soit \(f : \R \to \R\) vérifiant : ...
exo7 3886
Montrer que : \(\forall\ x > 0,\ x - \frac {x^2}2 < \ln(1+x) < x\).
En déduire ...
exo7 3888
Montrer que : \(\forall\ t > 1,\ \left(1+\frac 1t\right)^t < e < \left(1+\frac 1{t-1}\right)^t\).
exo7 3889
Soient \(0 < a < b\). Montrer que la fonction ...
exo7 3893
Calculer \(\sum_{k=0}^n\,\ch(kx)\).
exo7 3895
Soit \(x \in \R^*\). Vérifier que \(\tanh x = 2\coth 2x - \coth x\). En déduire l ...
exo7 3896
Soit \(x \in \R^*\). Vérifier que \(\frac1{\sh x} = \coth \frac x2 - \coth x\). E ...
exo7 3903
Soient \(0 < a_1 < a_2 < \dots < a_p\) des réels fixés.
exo7 3904
Soit \({f} : {\R^{+*}} \to {\R^{+*}}\) telle que : ...
exo7 3909
Montrer qu’il existe \(\theta \in {]0, \frac \pi2 [}\) tel que pour tout ...
exo7 3930
A l’aide d’un changement de variable judicieux, trouver \(\lim_{x\to0^+} \frac {\arccos(1-x)}{\sqrt x}\).
exo7 3932
Soit \(f:\R \to \R\) continue en \(0\). Montrer que ...
exo7 3935
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable et \(a \in \R\) tel que ...
exo7 3936
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable. Montrer que \(|f|\) admet en tout point une dériv ...
exo7 3937
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable et bornée telle que ...
exo7 3938
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable telle que \(f'(x) \to \ell\) lorsque ...
exo7 3940
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) dérivable.
exo7 3941
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) dérivable.
exo7 3942
Soient \({f,g} : {[a,b]} \to \R\) dérivables avec : ...
exo7 3943
Trouver \(\lim_{x\to\pi/4} \frac {\ln(\sin x) - \ln(\cos x)}{\sin x - \cos x}\).
exo7 3944
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R}\) dérivable telle que \(f(a) = f(b) = 0\), et ...
exo7 3945
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) dérivable telle que \(f'(a) = f'(b)\).
...exo7 3946
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) dérivable, telle que \(f(a) = f(b) = 0\). Montrer que ...
exo7 3947
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) \(n\) fois dérivable.
exo7 3948
Soit \(f : {[a,+\infty[} \to \R\) dérivable telle que \(f(x) \to f(a)\) lorsque ...
exo7 3949
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable telle que : ...
exo7 3950
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) bornée.
exo7 3951
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\).
exo7 3952
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^n\), ...
exo7 3953
On pose \(f(t) = (t^2-1)^n\).
exo7 3955
Soit \(P\) un polynôme. Montrer qu’il existe au plus un nombre fini de réels ...
exo7 3956
On veut calculer \(\ell = \lim_{n \to \infty} \frac 1{n+1} + \dots + \frac 1{2n}\).
exo7 3957
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable telle que \(f(0) = 0\). Chercher ...
exo7 3958
Pour \(k\in\N\), \(k\ge 2\), appliquer le théorème des accroissements finis à ...
exo7 3959
Trouver toutes les applications \(f:\R \to \R\) dérivables telles que : ...
exo7 396
Montrer que le polynôme \(P(X)= X^5-X^2+1\) admet une unique racine réelle et que celle-ci est irationnelle.