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Soit \(P(X)\) un polynôme à coefficients complexes de degré \(3\) ayant trois rac ...

Soit \(P\in {\Rr}_{n}[X]\) tel que \(P\geq 0\). On pose ...

Soit \(D=\left\{f\in \Rr[X]: f'(0)=0\right\}.\) Montrer que \(D\) n’est pas u ...

\(\mathcal{J}=\left\{ \left( \alpha ,\alpha \right) :\alpha \in \Zz \right\}\) est-il un idéal de l’anneau ...

Sur \(\R_{3}[X]\) on considère les formes bilinéaires suivantes. Dire lesquelles sont des produits scalaire. ...

On considère l’application \(u\) suivante : ...

Les parties \(\mathcal{I}=\left\{P\in\Rr[X]:P'(0)=0\right\}\) et ...

En utilisant la formule du binôme montrer : ...

Trouver les facteurs multiples des polynômes suivants :

Trouver le polynôme \(f\in \Zz[x]\) du dergé le plus petit tel que ...

Résoudre ...

Soit \(E^n\) l’espace des polynômes de degré \(\leq n\). Etudier la différentiabi ...

Soit \(a\in\R\), notons \(A\) la matrice suivante ...

A

Soit \(\cal P\) la parabole d’équation \(y^2=2px, p>0\).

Soit \(n\in\N^*\). Pour \(k\in{[[0,n]]}\) on pose ...

Soit \(P \in {\Z[X]},\ n \in \Z\), et \(p = P(n)\). Montrer que ...

Trouver tous les polynômes \(P \in { K[X]}\) tels que : ...

Montrer qu’il existe un unique polynôme \(P_n \in { K[X]}\) tel que ...

Démontrer qu’il existe \(P,Q \in K_{n-1}[X]\) uniques tels que ...

Soit \(\Phi \in \mathcal{L} { K[X]}\) commutant avec la dérivation, c’est à dire : ...

Soit \(P \in {\R[X]}\) tel que : \(\forall\ x \in \R\), on a ...

Trouver les restes des divisions euclidiennes :

Soit \(P = X^5 + aX^2 + 15X - 6i\). Trouver \(a \in \C\) tel que ...

Donner une condition sur \(\lambda\) pour que l’équation : ...

Démontrer que \(1 + X + X^n\) n’a que des racines simples.

Quels sont les polynômes \(P \in { K[X]}\) tels que \(P'\) divis ...

Soit \(P \in {\R[X]}\) dont toutes les racines sont réelles.

Soient \(z_0,z_1,\dots,z_n \in \C\) tels que : \(\forall\ P \in \C_{n-1}[X]\), on ...

Soit \(P = \sum_{k=0}^n a_kX^k \in {\R[X]}\) dont les racines sont réelles simples.

Soit \(P = X^4 - 6X^3 +7X^2 -18X - 8\).

Trouver \(Q \in {\R[X]}\) tel que ...

Soit \(P \in \R_n[X]\setminus\{0\}\).

Pour \(x\in\R\) on note ...

Soit \(F(X) = \frac 1{R(X)} = \frac 1{(X-a)^2Q(X)}\) avec \(Q(a) \ne 0\). Cherche ...

Soit \(P \in {\C_n[X]}\) \((n \ge 2)\) ayant ...

Soit \(P \in {\R[X]}\) ayant \(n\) racines positives distinctes (entre autres). ...

Soit \(P \in K_{n-1}[X]\) et \(A = \Bigl( P(i+j) \Bigr) \in \mathcal{M}_n(K)\). ...

Soient \(u,v\) deux endomorphisme d’un espace vectoriel \(E\) non nul tels que ...

Déterminer \(a,b \in \Zz\) de façon à ce que le polynôme \(aX^{n+1}-bX^n+1\) soi ...

Soit \(E = \R_{2n-1}[X]\), et \(x_1,\dots,x_n \in \R\) distincts. On note : ...

Soit \(E = K_n[X]\), \(Q \in E\) de degré \(n\) ...

Pour \(n\in\mathbb{N}\), quel est le reste de la division de \(X^n+X+b\) par ...

Chercher tous les polynômes \(P\) tels que \(P+1\) soit divisible par ...

Soit \(n \geq 1\). Déterminer le reste de la division euclidienne de ...

Quels sont les polynômes \(P\in\Cc[X]\) tels que \(P'\) divise ...

On pose ...

Soit \(n\) un entier strictement positif.

Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^n\), ...

On pose \(f(t) = (t^2-1)^n\).

Calculer la dérivée \(n^{\text{ème}}\) de \(x \mapsto x^n(1-x)^n\). En déduire la ...

Calculer \(\frac {d^n}{d t^n}\left(t^{n-1}\ln t\right)\), et ...