Programme de mathématiques PSI
B - Endomorphismes d’un espace euclidien
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Cette section vise les objectifs suivants :
- étudier les isométries vectorielles et matrices orthogonales, et les décrire en dimension deux et trois en insistant sur les représentations géométriques ;
- approfondir la thématique de réduction des endomorphismes dans le cadre euclidien en énonçant les formes géométrique et matricielle du théorème spectral ;
- introduire la notion d’endomorphisme autoadjoint positif, qui trouvera notamment son application au calcul différentiel d’ordre 2.
La notion d’adjoint est hors programme.
- a) Isométries vectorielles d’un espace euclidien 109
- b) Matrices orthogonales 83
- c) Espace euclidien orienté de dimension 2 ou 3 34
- d) Isométries vectorielles d’un plan euclidien 53
- e) Isométries d’un espace euclidien de dimension 3 53
- f) Réduction des endomorphismes autoadjoints et des matrices symétriques réelles 52
exo7 1570
Soit \(E\) euclidien, ...
exo7 1598
Soit \(A \in \mathcal{O}_n(\R)\). Montrer que si \(-1\) n’est pas valeur propre d ...
exo7 1639
Soit \(A\) la matrice ...
exo7 1642
Soit \(A\) la matrice ...
exo7 1645
Soient \(\R^n\) euclidien, \(f \in \textbf{O}_n(\R)\). Montrer que ...
exo7 1646
Diagonaliser en base orthonormale les matrices suivantes : ...
exo7 1647
Montrer que si \(A\) est une matrice symétrique réelle, alors \(A + iI\) est inve ...
exo7 1983
Montrer que ...
exo7 1984
Soit \(E\) euclidien orienté de dimension 3 et \(a\in E\).
Soit ...
exo7 1985
Soient \(a\) et \(b\) deux vecteurs de ...
exo7 1986
Soit \(R\) le rotation vectorielle d’angle \(\theta\) et d’axe orienté par le vec ...
exo7 1987
Determiner la matrice dans la base canonique de \(\Rr^{3}\) du retournement d’axe ...
exo7 1988
Reconnaître les transformations géométriques dont les matrices respectives dans la base canonique de \(\Rr^{3}\) s ...
exo7 1989
Soit \(R\) une rotation de \(\Rr^{3}\) d’axe ...
exo7 1990
On considère l’espace vectoriel euclidien canonique et orienté \(\Rr^3\). Soient ...
exo7 1996
Soit \(G\) un sous-groupe fini de l’ensemble des isométries du plan. Montrer que ...
exo7 2023
On se donne \(2\) droites \(D_1\) et \(D_2\) aya ...
exo7 2037
On considère \(S_1\) la transformation du plan définie par le système d’équations suivant :
...
exo7 2039
Définir analytiquement la projection orthogonale sur le plan d’équation \(2x+2y-z=1\).
exo7 2040
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec{OI},\vec{OJ})\).
exo7 2044
L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct \((0,\vec{\strut\imath},\vec{\strut\jmath},\vec{\strut k})\). ...
exo7 2215
Soient
\(H=\)span\(\{v_1, \cdots , v_r\}\) le sous–espace vectori ...
exo7 2216
Soit \(A\in\Rr^{m\times n}\) de rang \(r\leq p=\min (m,n)\). On considère la déco ...
exo7 2217
Définition: Soit \(\Sigma\) une matrice diagonale de type ...
exo7 2229
Soit \(v\) un vecteur réel vérifiant \(v^Tv=1\). Montrer que la matrice de Househ ...
exo7 2230
Etant donnés \(n\) vecteurs linéairement indépendants de \(\Rr^m\), ...
exo7 2231
Soient \(p,q :\) \(1\leq p < q\leq n\), ...
exo7 2232
Soit \(Z=\left(\begin{array}{cc} c&s\\ -s&c\end{array}\right)\) avec ...
exo7 2234
Soit \(A\in\Rr^{m\times n}\). On veut construire une matrice ...
exo7 2604
Soit \(\theta\in \R\), on considère l’endomorphisme \(f\) de ...
exo7 2670
Expliciter les 24 rotations de l’espace laissant un cube de sommets \(A_1, A_2, \dots, A_8\) invariant.
D ...
exo7 3437
Soient \(\vec a, \vec b, \vec c, \vec d\) quatre vecteurs d’un ev \(E\) de dimens ...
exo7 3537
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\).
exo7 3645
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3671
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(p\), ...
exo7 3673
Soient \(\vec x_1,\dots,\vec x_n\) des vecteurs d’un espace vectoriel euclidien ...
exo7 3677
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\R)\) inversible. Montrer qu’il existe une matrice orthogonale, ...
exo7 3694
Soient \(\vec u,\vec v,\vec w,\vec t\) quatre vecteurs d’un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3. Dém ...
exo7 3695
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 et ...
exo7 3696
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3.
Trouver ...
exo7 3697
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 et ...
exo7 3698
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 et ...
exo7 3699
Soient \(\vec u,\vec v,\vec w\) trois vecteurs d’un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3.
On d ...
exo7 3700
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3. Trouver les applications ...
exo7 3701
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3, \(\vec u \in E\) ...
exo7 3702
Soit \(\rho\) une rotation d’un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3, et ...
exo7 3703
Soient \(f,g \in {\cal O}(\R^3)\) ayant même polynôme caractéristique.
Montrer qu’il existe ...
exo7 3704
Soit \((\vec i,\vec j,\vec k)\) une bond d’un espace vectoriel euclidien orienté de dimensio ...
exo7 3705
Déterminer les sous-groupes de \({\cal O}^+(3)\) de cardinal 2,3, ou 4.
exo7 3706
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(f \in \mathcal{L}(E)\) antisymétriq ...