Texte officiel du programme
Cette section vise les objectifs suivants :
- généraliser au cas des espaces vectoriels sur $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ certaines notions (convergence de suites, limite et continuité de fonctions) étudiées en première année dans le cadre de l’analyse réelle, indispensables pour aborder l’étude des suites de matrices, des fonctions à valeurs vectorielles et du calcul différentiel ;
- fournir un cadre topologique à la convergence des suites et séries de fonctions.
Les notions seront illustrées par des exemples concrets et variés.
Il convient de souligner l’aspect géométrique des concepts topologiques à l’aide de nombreuses figures.
- a) Normes 104
- b) Suites d’éléments d’un espace vectoriel normé 66
- c) Comparaison des normes 26
- d) Topologie d’un espace vectoriel normé 97
- e) Limite et continuité en un point 118
- f) Continuité sur une partie 23
- g) Espaces vectoriels normés de dimension finie 21
exo7 2558
On considère l’équation \[x'=3x^{2/3} \mbox{ :} (1)\] avec condition initiale ...
exo7 2560
Soit \(f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) donnée par ...
exo7 2561
Soit l’équation différentielle \[x'''-xx''=0\] où \(x\) est ...
exo7 2617
Déterminer si chacune des parties suivantes du plan sont ouvertes ou fermées, ou ni l’un ni l’autre. Déterminer chaque fois l’intérieur et l’adhére ...
exo7 2619
Soit \((A_n)\) (\(n\in\N\)) une suite de parties ouvertes de ...
exo7 2620
Soit \(A=\{(t,\sin\frac1t)\in\R^2 ; t>0 \}\). Montrer que \(A\) n’est ni ouver ...
exo7 2621
Pour chacune des suites \((u_n)_n\) dans le plan \(\R^2\) ci-dessous, placer quel ...
exo7 2647
Soit \(D\) un sous-ensemble de \(\R^n\).
exo7 2649
On considère une suite \((u_n)_n\), de terme général \(u_n\in\R^2\).
exo7 2671
Sur l’espace \(\R^n\), définir une distance \(d\), telle que ...
exo7 2721
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 \in ]0,1[\) donné et ...
exo7 3061
Soit \(f : \R \to \R\) un morphisme de corps.
exo7 3623
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \((u_n)\) une suite d’endomorphismes diago ...
exo7 3663
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien. On pose pour \(\vec x \ne \vec 0\) : ...
exo7 3664
Soit \(E\) un espace euclidien.
exo7 3668
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(p \in \mathcal{L}(E)\) une projecti ...
exo7 3675
Soient \(E\) espace vectoriel euclidien, \(\vec a \in E\) et ...
exo7 3742
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3758
Soit \(E\) un \(\R\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 3760
\({\cal O}_n(\Q)\) est-il dense dans \({\cal O}_n(\R)\) ?
exo7 3824
Soit \(E\) l’ensemble des suites \((u_n)_{n\in\N}\) à termes réels telles que la ...
exo7 3826
Soit \(E\) un espace préhilbertien réel et \(B\) une boule ouverte de ...
exo7 3834
Montrer que les applications : ...
exo7 3837
Soit \(D\) le disque unité fermé de \(\R^2\). On considère l’espace ...
exo7 3839
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) muni du produit scalaire usuel, \(F\) le sous- ...
exo7 3840
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) muni du produit scalaire usuel et, pour ...
exo7 3842
Soit \(E = \mathcal{C}([a,b],\R)\) et \((a_n)\) une suite d’éléments de ...
exo7 3862
Soit \(I\) un intervalle borné et \(f : I \to \R\) uniformément continue. Montrer ...
exo7 3864
Soient \(f : D \to \R\) uniformément continue bornée et \(g : \R \to \R\) continu ...
exo7 3873
Soit \(f : \R \to \R\) une fonction uniformément continue telle que pour tout ...
exo7 3961
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\). Démontrer que : ...
exo7 4001
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions convexes sur \([a,b]\) convergeant simpleme ...
exo7 4078
Soit \(E = \{ \text{fcts : } [0,1] \to \R \text{ continues } \}\) et ...
exo7 4080
Soient \(u,v,w\) trois applications bornées et de classe \(\mathcal{C}^1\) sur ...
exo7 4085
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions \(f : \R \to \R\) de classe ...
exo7 4121
Soit \(x\) la solution maximale du problème de Cauchy : ...
exo7 4127
Soient \(y,z\) solutions de ...
exo7 4131
Soit un vecteur \(v=(v_1,v_2,v_3)\) de \(\R^3\) muni de sa base canonique ...
exo7 4149
Soit \(\varphi : {\R^2} \to {\R^2}\) une isométrie pour la norme \(\|\ \|_2\). ...
exo7 4162
Soit \(f : {\R^3} \to {\R^3}, {(x,y,z)} \mapsto {(e^{2y}+e^{2z}, e^{2x}-e^{2z}, x-y).}\) Montrer que ...
exo7 4175
Soit \(U\) l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré \(n\) et à raci ...
exo7 4181
Soit \(U\) un ouvert de \(\R^2\).
exo7 4182
On pose pour \((x,y)\in\R^2\) : ...
exo7 4190
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions continues de \([0,1]\) dans ...
exo7 4194
On considère un vrai triangle \(ABC\) et \(f\) la fonction définie par : ...
exo7 4241
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\), \(K\)-lipchitzienne.
Montrer que ...
exo7 4311
Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) sur ...
exo7 4363
Soit \(\alpha \in \R\). Trouver la limite de ...
exo7 4482
Soit \((u_n)\) une suite de complexes qui converge au sens de Césaro vers zéro.
Étudiez la suite de terme g ...