Texte officiel du programme
Cette section vise les objectifs suivants :
- généraliser au cas des espaces vectoriels sur $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ certaines notions (convergence de suites, limite et continuité de fonctions) étudiées en première année dans le cadre de l’analyse réelle, indispensables pour aborder l’étude des suites de matrices, des fonctions à valeurs vectorielles et du calcul différentiel ;
- fournir un cadre topologique à la convergence des suites et séries de fonctions.
Les notions seront illustrées par des exemples concrets et variés.
Il convient de souligner l’aspect géométrique des concepts topologiques à l’aide de nombreuses figures.
- a) Normes 104
- b) Suites d’éléments d’un espace vectoriel normé 66
- c) Comparaison des normes 26
- d) Topologie d’un espace vectoriel normé 97
- e) Limite et continuité en un point 118
- f) Continuité sur une partie 23
- g) Espaces vectoriels normés de dimension finie 21
exo7 4766
Soit \(E\) l’ensemble des suites \(u=(u_n)\) réelles borné ...
exo7 4767
Soit \(E\) l’ensemble des suites réelles \(u = (u_n)_{n\ge1}\) telle ...
exo7 4768
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions \(\R \to \R\) lipschitziennes. Pour ...
exo7 4769
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions \(f : {[0,1]} \to \R\) de classe ...
exo7 4770
\(E=C([0,1],\R)\). Soit \(g\in E\). Pour tout ...
exo7 4771
Soit \(E\) un espace préhilbertien réel et ...
exo7 4772
Soit \((E,\|\ \|)\) un \(\R\)-evn et ...
exo7 4773
Soit \(E\) un espace vectoriel réel. On considère une application ...
exo7 4774
Les parties suivantes sont-elles ouvertes ? fermées ? bornées ?
exo7 4775
Soient \(A,B\) deux parties non vides d’un evn \(E\). On note ...
exo7 4776
Soit \(F\) un fermé de \(\R^n\) et ...
exo7 4777
Soit \(\cal O\) un ouvert non vide d’un ev normé \(E\). Montrer que ...
exo7 4778
Soit \(E\) un evn et \(F\) un sev de \(E\).
exo7 4779
\(E\) est un \(\R\)-espace vectoriel normé et ...
exo7 4780
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(C \subset E\) convexe et dense. Montrer ...
exo7 4783
On pose \(E=C([0,1],\R)\) et on le munit de la norme \(N_{\infty}\). Soit ...
exo7 4784
Les solutions de l’équation \(u^2=\mathrm{id}_{\R^n}\) pour ...
exo7 4785
Soit \(A\) une partie convexe d’un evn \(E\).
exo7 4788
Soit \(N\in\mathcal{M}_n(\C)\). Montrer que \(N\) est nilpotente si et seulement ...
exo7 4789
Soit \(n\in\N^*\) et \(\sigma\in\R^n\). On note ...
exo7 4790
Soit \(f:\R \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4791
Soit \(f : {\R^2} \to \R\) continue. On pose ...
exo7 4792
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(f : E \to\R\) continue. On suppose que ...
exo7 4793
On note \(\Omega = \R^2\setminus \{(0,0)\}\) et ...
exo7 4794
Trouver une fonction \(f : {\R^2} \to \R\) discontinue en \((0,0)\) mais telle qu ...
exo7 4795
Soit \(E = \mathcal{M}_n(\R)\), \(F = \R_n[X]\), et ...
exo7 4796
Soit \(E = \R[X]\). Pour \(P \in E\), on pose : ...
exo7 4797
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(f : E \to E\) une fonction ...
exo7 4800
Soit \(f\) une fonction polynomiale sur \(\C\). Montrer que l’image par ...
exo7 4801
Soit \(P\in\C[X]\) et \(U\) un ouvert de \(\C\) ...
exo7 4802
Soient \(E,F\) deux \(\R\)-espaces vectoriels normés, ...
exo7 4805
\(E\) est l’ensemble des fonctions de \(\R\) dans ...
exo7 4807
Soient \(x_1,\dots,x_n \in \R\) distincts. À ...
exo7 4809
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(u \in \mathcal{L}(E)\). On choisit ...
exo7 4812
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) et \(f \in \mathcal{L}(\R^n)\), ...
exo7 4815
On note \(E=\mathcal{C}^\infty([0,+\infty[,\R)\) et \(D\) l’endomorphisme de ...
exo7 4817
Soit \(E\) l’ensemble des suites réelles \(u = (u_n)\) borné ...
exo7 4818
Soit \(E\) un \(\R\)-evn et \(f \in E^*\).
exo7 4820
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(u \in \mathcal{L}(E)\). On pose ...
exo7 4822
Soit \(u\) une application linéaire de \(\R^n\) dans ...
exo7 4823
Soit \(E\) un evn et \(A \subset E\). On suppose que ...
exo7 4825
Soit \(E\) un evn de dimension supérieure ou égale à ...
exo7 4826
Soit \(E\) un evn réel et \(H\) un hyperplan de ...
exo7 4827
Soient \(E,F\) deux espaces vectoriels normés et \(f : E \to {F.}\) ...
exo7 4829
Soit \(C\) un compact convexe d’un evn \(E\). Soit ...
exo7 4835
Soit \(A\) une partie compacte d’un evn \(E\) et ...
exo7 4838
Soit \(\|.\|\) une norme sur \(\R^2\), ...
exo7 4839
Soit \(E\) un espace vectoriel normé, \(K\) un compact convexe de ...
exo7 4846
Soit \(E = \{ \text{fonctions lipchitziennes } f:\R \to \R \}\). Pour \(f \in E\) ...
exo7 4848
Soit \(E\) un evn complet et \((B_n(a_n,r_n))\) une suite décroissan ...