Texte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Une matrice $A$ de $\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$ est orthogonale si $A^\top A = I_n$. | Interprétation en termes de colonnes et de lignes. Caractérisation comme matrice de changement de base orthonormée. |
Caractérisation d’une isométrie vectorielle à l’aide de sa matrice dans une base orthonormée. | On mentionne la terminologie « automorphisme orthogonal », tout en lui préférant « isométrie vectorielle ». |
Groupe orthogonal. | Notations $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$, $\mathrm{O}(n)$. |
Déterminant d’une matrice orthogonale, d’une isométrie vectorielle. Isométrie vectorielle directe, isométrie vectorielle indirecte. | |
Groupe spécial orthogonal. | Notations $\mathrm{SO}_n(\mathbb{R})$, $\mathrm{SO}(n)$ et $\mathrm{SO}(E)$. |
exo7 3785
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétriques positives. Montrer que ...
exo7 3798
Soit \(A\in M_n(\R)\) telle que \(A^3={}^t\!A A\). ...
exo7 3810
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\) de valeurs propres ...
exo7 3812
Soit \(S\), matrice orthogonale d’ordre impair, de coefficients fonction de \(t\) ...
exo7 3813
Déterminer \(a\), \(b\), \(c\), réels non nuls p ...
exo7 3815
Peut-on définir sur \(\R^2\) une structure euclidienne telle que l’endomorphisme ...
exo7 3817
Montrer que toute matrice symétrique réelle positive a ses coefficients diagonaux positifs. Montrer que si l’un des coefficients diagonaux ...
exo7 3818
Pour \(M\in GL_n(\R)\) montrer l’existence de deux matrices orthogonales \(U\) et ...
exo7 3819
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\R)\) telle que \(A^2 = -I_n\).
exo7 3822
Déterminer \(\{M \in {\cal{M}}_n(\R) \text{ tq } M(^tMM)^2=I_n\}\).
exo7 3838
Soit \(E\) un espace euclidien, \((\vec e_1,\dots,\vec e_n)\) une base de ...
exo7 4854
Soient \({\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3} : {I\subset \R} \to {\R^3}\) de classe ...
exo7 5488
Matrice de la projection orthogonale sur la droite d’équations \(3x=6y=2z\) dans la base canonique orthonormée de ...
exo7 5489
\(E=\Rr^3\) euclidien orienté rapporté à une base orthonormée directe ...
exo7 5490
Soit \(M=\left( \begin{array}{ccc} a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a \end{array} \right)\) avec ...
exo7 5616
Résoudre dans \(\mathcal{M}_n(\Rr)\) l’équation \(M=\text{com}M\) ( ...
exo7 5791
Soit \(A\) une matrice orthogonale. Montrer que la valeur absolue de la somme des coefficients de ...
exo7 5794
Soit \(A\) une matrice carrée réelle symétrique positive de format \(n\). Montrer ...
exo7 5795
Déterminer \(\text{card}(O_n(\Rr)\cap\mathcal{M}_n(\Zz))\).
exo7 5798
Soit \(A\) une matrice carrée réelle. Montrer que les matrices \({^t}AA\) et ...
exo7 5805
\(O_n(\Rr)\) est-il convexe ? \(O_n(\Rr)\) contient-il trois points alignés?
exo7 5813
Soit \(A\) une matrice carrée réelle symétrique définie positive. Montrer qu’il exis ...
exo7 6180
On considère dans \(M_n(\Rr)\) le sous-ensemble des matrices de déterminant égal à ...
exo7 6385
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien de dimension \(n\).
exo7 6388
Déterminer la nature des applications suivantes : \(\Rr^2 \rightarrow \Rr^2\), ...
exo7 6415
On considère l’application \(\xi_s(q)=-sqs^{-1}\ (s\in(\R^3)^*,\ q\in\R^3).\) Montrer que ...
exo7 7445
Soit \((E,<.>)\) un espace vectoriel euclidien. Répondre par vrai ou faux, puis dire sous quelles hypothèses ...
exo7 7446
Soit \(E\) l’espace vectoriel \(\Rr^3\) muni du produit scalaire canonique et de ...
exo7 7801
Montrer sans calcul que la matrice suivante \(A\) à coefficients complexes est inversible ...
exo7 7804
Soit \(f\) une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur un espace vectoriel ...
exo7 7808
Montrer que dans un plan d’Artin il y a exactement deux droites isotropes \(I\) et ...
exo7 7901
Déterminer dans \(M(2,\Rr)\) une matrice \(I\) telle que ...