Programme de mathématiques PT
e) Matrices symétriques réelles
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Matrice symétrique réelle. | Notation $\mathscr{S}_n(\mathbb{R})$. La notion d’endomorphisme symétrique est hors programme. |
Les sous-espaces propres d’une matrice symétrique réelle sont deux à deux orthogonaux. | |
Théorème spectral : pour toute matrice symétrique réelle $A$, il existe une matrice orthogonale $P$ et une matrice diagonale réelle $D$ telles que $A = PDP^{-1}$). | $A$ est dite orthogonalement diagonalisable. La démonstration est hors programme. |
exo7 1479
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1525
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1530
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(3 .\)
exo7 1533
Diagonaliser très rapidement la matrice ...
exo7 1536
Soit \(\, E\,\) un espace euclidien de dimension \(\, 3\, .\)
exo7 1541
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien. Un endomorphisme ...
exo7 1554
Dans un espace euclidien \(E\), on considère un vecteur unitaire \(a\), et à un r ...
exo7 1558
Quelles sont les isométries vectorielles d’un espace vectoriel euclidien qui sont diagonalisables.
exo7 1639
Soit \(A\) la matrice ...
exo7 1642
Soit \(A\) la matrice ...
exo7 1647
Montrer que si \(A\) est une matrice symétrique réelle, alors \(A + iI\) est inve ...
exo7 3537
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\).
exo7 3734
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3736
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soient ...
exo7 3742
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3745
Soit \(M \in {\cal O}(n)\).
exo7 3764
Soit \({\cal B} = (\vec e_1,\dots,\vec e_n)\) une base non orthonormée de \(E\), ...
exo7 3765
Soit \(u : E \to E\) telle que : ...
exo7 3766
Diagonaliser dans une base orthonormée :
exo7 3769
Soit \(E = \R_n[x]\). On pose pour ...
exo7 3772
Soient \(u,v \in \mathcal{L}(E)\) auto-adjoints. Montrer que \(u\circ v\) est aut ...
exo7 3774
Quels sont les endomorphismes de \(E\) à la fois auto-adjoints et orthogonaux ?
exo7 3775
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\R)\) antisymétrique et \(f\) l’endomorphisme de ...
exo7 3782
Soit \(u \in \mathcal{L}(E)\) auto-adjoint tel que \(\mathrm{tr}(u) = 0\).
exo7 3783
Soit \((A_i)\) une famille de matrices \(n\times n\) réelles symétriques commutan ...
exo7 3788
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) auto-adjoint et ...
exo7 3789
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétriques, \(\lambda,\lambda'\) leurs ...
exo7 3800
Soit \(E\) un espace euclidien et \(s\) une symétrie de ...
exo7 3802
Que peut-on dire de l’adjoint d’un projecteur orthogonal d’un espace euclidien ? Réciproque ?
exo7 3803
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) muni du produit scalaire défini par ...
exo7 5796
Soit \(f\) une application de \(\Cc\) dans ...
exo7 5801
Valeurs et vecteurs propres de l’endomorphisme de \(\Rr^3\) euclidien orienté défini par