Programme de mathématiques PT
C - Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
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Après avoir introduit le vocabulaire des éléments propres en dimension quelconque, cette partie s’intéresse de manière plus approfondie au cas de la dimension finie, et à la question de la diagonalisabilité d’un endomorphisme ou d’une matrice carrée.
Tout développement sur les polynômes d’endomorphisme est hors programme.
- a) Éléments propres d’un endomorphisme, d’une matrice carrée 230
- b) Polynôme caractéristique 170
- c) Endomorphismes et matrices diagonalisables 202
- d) Endomorphismes et matrices trigonalisables 21
exo7 3555
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3556
Soit \(f\) un endomorphisme diagonalisable d’un ev \(E\) de dimension finie, ...
exo7 3557
Soit \(E\) un \(\C\)-ev de dimension ...
exo7 3558
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(u\in \mathcal{L}(E)\) tel que ...
exo7 3559
Soit \(M \in \mathcal{M}_{3}(\R)\) telle que \(M \ne I\), et ...
exo7 3562
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(K)\). Montrer que \(\chi_A\) et ...
exo7 3564
Soient \(A,B,C\in\mathcal{M}_n(\C)\) telles que \(AC = CB\) et ...
exo7 3567
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\). Déterminer les scalaires \(\lambda\) et les matr ...
exo7 3568
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(u\in\mathcal{L}(E)\). On c ...
exo7 3570
Soit \(p \in \mathcal{L}(E)\) une projection et ...
exo7 3571
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3575
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) finie, ...
exo7 3578
Soit ...
exo7 3579
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3580
Quelles sont les matrices \(A \in \mathcal{M}_{3}(\C)\) telles que \(A^3\) est se ...
exo7 3583
Soit \(f\in\mathcal{L}(\R^3)\) telle que \(\mathrm{Spec}(f) = \{\lambda\}\) et ...
exo7 3585
Soit \(A=\begin{pmatrix}-1&2&1\cr2&-1&-1\cr-4&4&3\cr\end{pmatrix}\).
exo7 3586
Soit \(A \in \mathcal{M}_{3}(\R)\) ayant pour valeurs propres \(1,-2,2\), et ...
exo7 3587
Soit \((u_n)\) une suite réelle vérifiant l’équation de récurrence : ...
exo7 3588
Soit \(f\), endomorphisme d’un espace vectoriel \(E\) de dimension ...
exo7 3589
Soit \((M_n)\) une suite de points dans le plan, de coordonnées \((x_n,y_n)\) déf ...
exo7 3590
Soit \(D = \text{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\) une matrice diagonale à valeurs propres distinctes.
exo7 3591
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 &1 \cr 1 &1 \cr \end{pmatrix}\).
exo7 3592
Soit \(A = \begin{pmatrix} 9 &0 &0 \cr 1 &4 &0 \cr 1 &1 &1 \cr \end{pmatrix}\). Trouver le ...
exo7 3593
Soit ...
exo7 3594
Trouver le commutant de \(\begin{pmatrix}2&-2&1\\ 2&-3&2\\ 1&2&0\end{pmatrix}\).
exo7 3595
Si \(A\in M_n(\C)\), on note \(C(A)\) le commutant de ...
exo7 3596
En se déplaçant uniquement sur les arêtes d’un cube de côté 1, combien y a-t-il de chemins de longueur \(n\) pour ...
exo7 3597
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et ...
exo7 3598
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\C)\) diagonalisable. Soit ...
exo7 3599
Soit \(A \in GL_n(\C)\) et ...
exo7 3600
Soit \(M = \begin{pmatrix} A &B \cr C &D \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(K)\) diagonalisable avec ...
exo7 3601
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\R)\) et ...
exo7 3602
Soit ...
exo7 3603
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension \(n\) et ...
exo7 3604
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3606
Soit \(E\) un \(\C\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3609
Soit \(E\) un \(\C\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3610
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\R)\) et \(\lambda = a+ib\) une valeur propre non réel ...
exo7 3611
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3613
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3614
Soit \(E = \R^3\) et \(H:x+2y+3z=1\) un plan affine de ...
exo7 3615
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) un endomorphisme cyclique et \(F\) un sous-espace v ...
exo7 3616
Un endomorphisme \(f\) est dit semi-simple si tout sous-espace stable par \(f\) a ...
exo7 3617
Soit \(u\) un endomorphisme de \(E\), espace vectoriel de dimension ...
exo7 3618
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, \(f\) un endomorphisme de ...
exo7 3619
Soit \(f\in\mathcal{L}(\R^3)\) ayant pour matrice ...
exo7 3620
Soient \(A,B\in\mathcal{M}_n(\C)\) telles que \(AB = 0\). Montrer que ...
exo7 3621
Soient \(A_1,\dots,A_n\in\mathcal{M}_n(K)\) nilpotentes et commutant deux à deux. Montrer que ...
exo7 3622
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\C)\). Montrer que \(A\) est nilpotente si et seulement ...