Programme de mathématiques PT
b) Surfaces définies par une équation cartésienne
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Surface définie par une équation $f(x,y,z) = 0$ avec $f$ de classe $\mathscr{C}^1$. | Surfaces de niveau de $f$. |
Point régulier. Le gradient est normal au plan tangent en un point régulier. | On admet que la surface admet un paramétrage local de classe $\mathscr{C}^1$. Détermination d’une équation du plan tangent en un point régulier. Lorsqu’il est non nul, le gradient de $f$ est orthogonal aux surfaces de niveau et orienté dans le sens des valeurs croissantes de $f$. |
Courbe paramétrée tracée sur une surface. | Cas d’une surface paramétrée, d’une surface définie par une équation cartésienne. |
Si $\Gamma$ est une courbe tracée sur la surface $\Sigma$, et si $M$ est un point régulier à la fois de $\Sigma$ et de $\Gamma$, la tangente en $M$ à $\Gamma$ est incluse dans le plan tangent en $M$ à $\Sigma$. |
exo7 2616
Tracer le graphe de la fonction \(f\colon \R^2 \longrightarrow\R\) définie par ...
exo7 2630
Trouver les points sur le paraboloı̈de \(z=4x^2 +y^2\) où le plan tangent est parallèle au plan ...
exo7 2631
Soit \(C\) le cône d’équation \(z^2= x^2+y^2\) et ...
exo7 2644
Déterminer l’équation du plan tangent à la surface de niveau \[\sin(\pi xy)+\sin(\pi yz) =1,\] au point de coordo ...
exo7 2655
exo7 4931
Soit \({\cal P}\) le paraboloïde d’équation \(z= xy\). Montrer que par tout point ...
exo7 4935
Soit \({\cal E}\) un ellipsoïde d’équation ...
exo7 5053
Soit \({\cal S}\) la surface d’équation cartésienne \(z^2-x^2-y^2 = 1\).
exo7 5054
Soit \({\cal S}\) la surface d’équations paramétriques : ...
exo7 5055
Soit \(\mathcal{C}\) le cercle intersection de la sphère d’équation ...
exo7 5056
Soit \({\cal S}\) la surface d’équation cartésienne : ...
exo7 5059
Soit \({\cal S}\) la sphère de centre \(A=(a,0,0)\) et de rayon ...
exo7 5060
Soit \(A=(0,1,0)\) et \({\cal S}\) la surface constituée des cercles verticaux de ...
exo7 5829
Equation du cône de sommet \(S\) et de directrice \((\mathcal{C})\) dans les cas ...
exo7 5830
Trouver une équation du cône de sommet \(S\) circonscrit à la surface ...
exo7 5833
Equation cartésienne du cylindre \((\mathcal{C})\) de direction ...
exo7 5835
Equation cartésienne du cylindre de révolution \((\mathcal{C})\) de rayon \(R\) e ...
exo7 5836
Trouver les plans tangents à l’ellipsoïde d’équation \(x^2+2y^2+3z^2 = 21\) qui sont parallèles au plan d’équation ...
exo7 5837
Trouver les plans tangents à la surface \((\mathcal{S})\) d’équation \(x-8yz=0\) ...
exo7 5915
Soit \(\mathcal{S}\) la surface d’équation \(x^4-x^3+xy-y^2-z=0\).
exo7 5916
Trouver toutes les droites tracées sur la surface d’équations \(x^3+y^3+z^3=1\) puis vérifier que ces droites sont ...
exo7 7665
Soit \(U\) un ouvert de \(\Rr^2\) et ...
exo7 7666
Déterminer le plan tangent en \(A(1,-1,-1)\) à la surface paramétrée par ...
exo7 7667
Soit \(S\) la surface de \(\Rr^3\) d’équation ...
exo7 7668
Déterminer une équation cartésienne du plan tangent à la surface \(\mathcal{S}\) de ...
exo7 7669
Dans tout l’exercice, \(r\) et \(h\) parcourent ...