Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
a) Généralités
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Application linéaire. | |
Opérations sur les applications linéaires : combinaison linéaire, composition. Isomorphisme, réciproque. | Espace vectoriel $\mathscr{L}(E,F)$ des applications linéaires de $E$ dans $F$. Bilinéarité de la composition. |
Image directe et image réciproque d’un sous-espace par une application linéaire. | |
Image d’une application linéaire. | Notation $\operatorname{Im}u$. |
Noyau d’une application linéaire. Si $(x_i)_{i\in I}$ est une famille finie génératrice de $E$ et si $u\in\mathscr{L}(E,F)$, alors $\operatorname{Im}u=\operatorname{Vect}(u(x_i))_{i\in I}$. | Notation $\operatorname{Ker}u$. Caractérisation de l’injectivité. |
Application linéaire de rang fini. Le rang de $v\circ u$ est majoré par $\min(\operatorname{rg}(u),\operatorname{rg}(v))$. Invariance du rang par composition par un isomorphisme. | Notation $\operatorname{rg}(u)$. |
exo7 928
Soient \(f\) et \(g\), applications de ...
exo7 929
Déterminer si les applications \(f_{i}\) suivantes sont linéaires : ...
exo7 931
Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de ...
exo7 933
Soient : \(E\), \(F\) et \(G\) trois sous espace ...
exo7 934
Soit \(E\) un espace vectoriel et soient \(E_1\) et ...
exo7 935
Soit \(E\) l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à \(n\). P ...
exo7 936
Soit \(E\), \(F\), \(G\) trois espaces vectoriel ...
exo7 938
Soit \(E\), \(F\), \(G\) trois espaces vectoriel ...
exo7 939
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, \(f\) une application linéaire ...
exo7 940
Soit \(E\) un espace vectoriel, et \(u\) une application linéaire de ...
exo7 941
Soient \(E\) un espace vectoriel et \(\varphi\) une application linéaire de ...
exo7 942
Pour des applications linéaires \(f: E\rightarrow F\), \(g: F\rightarrow G\), éta ...
exo7 943
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et ...
exo7 945
Soient \(f : E \rightarrow F\) et \(g : F \rightarrow G\) deux applications linéa ...
exo7 946
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(\varphi\) une application ...
exo7 947
Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphismes de ...
exo7 948
Soit \(f \in \mathcal{L} (E)\) telle que \(f^3 = f^2 + f\). Montrer que ...
exo7 949
Soit \(f \in \mathcal{L} (E)\). Montrer que ...
exo7 950
Soit \(U\) un sous-espace vectoriel de \(E\) espace vectoriel, et ...
exo7 951
Donner des exemples d’applications linéaires de \(\Rr^{2}\) dans \(\Rr^{2}\) véri ...
exo7 952
Soit \((u,v)\in (L(E))^{2}\), tels que \(u^{2}=u\) et ...
exo7 953
Soit \((\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3})\) une base de \(\Rr^3\), et ...
exo7 954
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\), ...
exo7 956
Pour les applications linéaires suivantes, déterminer \(\ker f_i\) et \(\Im f_i\) ...
exo7 957
Soit \(f\in L(E)\) non nul; montrer que \(f\) est injective si et seulement si po ...
exo7 962
Montrer que si \(p<q\) il n’existe pas d’application linéaire surjective de ...
exo7 963
Soit \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels de dimension finie et ...
exo7 964
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels et ...
exo7 966
Soient \(U\) et \(V\) deux ensembles non vides et ...
exo7 976
Soit \(E={\Rr}_{n}[X]\) l’espace vectoriel des polynômes de degré \(\leq n\), et ...
exo7 977
Soit \(E=C({\Rr}^{+},{\Rr})\) et \(U : E \rightarrow E\) définie par ...
exo7 978
On désigne par \(\mathcal{P}_q\) l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal ...
Propagation forward dans un RNN simple
On considère un RNN simple à un seul état caché, défini par les équations : ...
Réseau entièrement linéaire : équivalence avec un neurone simple
On considère un réseau \(1 \to 3 \to 1\) dont toutes les activations sont linéaires (identité).
Étude d'une application linéaire
On considère l’application linéaire \(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\) définie par ...
Étude d'une application linéaire
On considère l’application linéaire \(f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3\) définie par
...