Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
b) Endomorphismes
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Identité, homothéties. | Notations $\mathrm{id}_E$, $\mathrm{id}$. |
Opérations sur les endomorphismes : combinaison linéaire, composition. | Notation $u^k$ pour $u\in\mathscr{L}(E)$ et $k\in\mathbb{N}$. |
Projection ou projecteur, symétrie : définition géométrique, caractérisation par $p^2=p$, par $s^2=\mathrm{id}$. | On incite les étudiants à se représenter géométriquement ces notions par des figures en dimension 2 et 3. |
Automorphismes. Groupe linéaire. | Notation $\mathrm{GL}(E)$. On vérifie les propriétés lui conférant une structure de groupe, mais la définition axiomatique des groupes est hors programme. Notation $u^k$ pour $u\in\mathrm{GL}(E)$ et $k\in\mathbb{Z}$. |
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On rappelle que l’homothétie de centre \(O\) et de rapport \(\lambda\), ...
exo7 7276
Étant données deux demi-droites \([OA)\) et \([OB)\), on veut construire la bisse ...
exo7 7279
Étant données trois droites concourantes, construire un triangle dont ce sont les médiatrices. (Indication: on pourra considérer l’application comp ...
exo7 7285
Si \(\Omega\) est un point et si \(\lambda\) est un réel non nul, l’inversion ...
exo7 7357
Construire à la règle et au compas un hexagone régulier \(E\).
exo7 7412
Soit \(\R[X]\) l’ensemble de polynômes dans \(\R\) et soit ...
exo7 7434
Soit \(E\) un espace affine et \(f\) une application affine dont la partie linéai ...
exo7 7436
Soit \(E\) un espace affine et \(F\) et \(G\) de ...
exo7 7438
Dans l’espace affine \(\Rr^3\) muni d’un repère affine \(A_0,A_1,A_2,A_3\), donne ...
exo7 7458
En décomposant les rotations en produits de réflexions, déterminer le centre d’une composée de deux rotations dont la somme des angles n’est pas nu ...
exo7 7459
Que peut-on dire d’une isométrie plane qui a trois points fixes non alignés ?
exo7 7460
On munit le plan affine euclidien d’un repère orthonormé \((O,i,j)\) et on l’identifie au plan complexe. Écrire à ...
exo7 7463
Soit \(E\) un espace affine euclidien de dimension \(3\) muni d’un repère cartési ...
exo7 7466
On considére le plan muni d’un un repère orthonormé (\(O, \overrightarrow {\imath},\overrightarrow{\jmath}\)) et l ...
exo7 7468
On considère le plan muni d’un un repère orthonormé (\(O, \overrightarrow {\imath},\overrightarrow{\jmath}\)) et l ...
exo7 7475
Soit \(E\) un plan affine euclidien. Soient \(\mathcal{R}\) un repère cartésien o ...
exo7 7477
Soit \(E\) un espace affine euclidien de dimension \(3\) muni d’un repère cartési ...
exo7 7480
Construire un segment \([A,B]\) connaissant son milieu \(I\) et sachant que ...
exo7 7481
Construire un triangle équilatéral \(ABC\) connaissant \(A\) et sachant que ...
exo7 7483
Construire un carré \(ABCD\) sachant que \(A\) et ...
exo7 7496
Soit \(E\) un plan affine euclidien. Soit \(\mathcal{R}=(O,i,j)\) un repère carté ...
exo7 7501
Soit \(P\) un plan affine et \((A,B,C)\) un repère affine. Donner la condition d’ ...
exo7 7504
Dans le plan euclidien orienté muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec{\imath},\vec{\jmath})\), on considère ...
exo7 7804
Soit \(f\) une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur un espace vectoriel ...
exo7 7816
Soit \(f\) une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur un espace vectoriel ...
exo7 7904
Construire à la règle et au compas la tangente à un cercle \(\mathcal{C}\) passant par un point ...
exo7 941
Soient \(E\) un espace vectoriel et \(\varphi\) une application linéaire de ...
exo7 942
Pour des applications linéaires \(f: E\rightarrow F\), \(g: F\rightarrow G\), éta ...
exo7 952
Soit \((u,v)\in (L(E))^{2}\), tels que \(u^{2}=u\) et ...
exo7 958
Soit \(f\in L(E)\) où \(E\) est un \(K-\)espace ...
exo7 960
Soit \(f \in \mathcal{L} (E)\) telle que \(f^3 = f^2 + f + id\). Montrer que ...
exo7 961
Soit \(E\) un \(\C\)–espace vectoriel et ...
exo7 967
Soit \(E\) un espace vectoriel; on note \(i_E\) l’identité sur ...
exo7 968
Soient \(P=\{ (x, y, z)\in \R ^3 ; 2x+y-z=0\}\) et ...
exo7 970
Soit \({f} : {\Rr^2} \to {\Rr^2}\), ...
exo7 971
\(E\) est un \(\Rr-\)espace vectoriel, \(F\) et ...
exo7 972
Soient \(p\) et \(q\) deux projecteurs de \(E\), ...
exo7 973
Soient \(p\) et \(q\) deux projecteurs de \(E\), ...
exo7 974
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions de \(\Rr\) dans ...
exo7 975
Soit \(E=\Rr[X]\) l’espace vectoriel des polynômes, et \(f:E\rightarrow E\) défin ...