Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
B - Déterminants
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★ Le déterminant est présenté dans sa version matricielle. L’interprétation géométrique en terme d’aire et de volume algébrique est faite via le produit mixte défini dans la section « Géométrie du plan et de l’espace ». Les capacités attendues sont la connaissance et l’utilisation des propriétés du déterminant permettant un calcul simple via des opérations élémentaires. Tout excès de technicité est exclu et l’outil informatique est utilisé dès que le calcul s’avère trop lourd. Le vocabulaire des formes multilinéaires alternées, le groupe symétrique et les formules de Cramer sont hors programme.
- a) Déterminant d’une matrice carrée 349
- b) Propriétés du déterminant 6
- c) Déterminant d’une famille de vecteurs, d’un endomorphisme 45
exo7 2582
Soit \(a\in\R\) et \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2588
Soit \(N\) une matrice nilpotente, il existe \(q\in\N\) tel que ...
exo7 2590
La suite de Fibonacci \(0,1,1,2,3,5,8,13,...\) est la suite \((F_n)_{n\geq 0}\) d ...
exo7 2591
Soit \(a\in\R\), notons \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2592
Soit \(A\) la matrice de \(M_3(\R)\) suivante : ...
exo7 2594
Soit \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2606
Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\R^3\), dont la matrice dans la base canonique es ...
exo7 2668
Matrices de permutation
Soit \(n\in\N^*\) et \(K\) un corps. Montrer que l ...
exo7 2749
Calculer \(A^n\) pour tout \(n\in\mathbb{Z}\), avec successivement ...
exo7 2750
Les matrices suivantes sont-elles inversibles? Si oui, calculer leurs inverses. ...
exo7 2751
Inverser les matrices suivantes : ...
exo7 2752
L’exponentielle d’une matrice carrée \(M\) est, par définition, la limite de la série ...
exo7 2753
Calculer l’aire du parallélogramme construit sur les vecteurs ...
exo7 2759
Calculer les inverses des matrices suivantes de deux manières différentes : ...
exo7 2760
En utilisant le déterminant montrer que chacun des systèmes suivants admet une solution unique. Résoudre chacun de ces système en inversant la matr ...
exo7 2768
Résoudre de quatre manières différentes le système suivant (par substitution, par la méthode du pivot de Gauss, en inversant la matrice des coeffic ...
exo7 2772
On considère la matrice ...
exo7 2773
Pour quelles valeurs de \(a\) la matrice ...
exo7 2775
Calculer l’inverse de la matrice suivante : ...
exo7 2781
Les familles suivantes sont-elles libres ?
exo7 2782
On suppose que \(v_1, v_2, v_3, \ldots,v_n\) sont des vecteurs indépendants de ...
exo7 3002
On considère le groupe \(G = \Z^2\). Une base de ...
exo7 3358
Soit \(M = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)\). On dit que \(M\) est en dam ...
exo7 3359
Soit
...
exo7 3360
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)\). On dit que \(A\) est centro ...
exo7 3362
On note ...
exo7 3365
Soient \(A_1 \in \mathcal{M}_{n,p_1}(K)\), \(A_2 \in \mathcal{M}_{n,p_2}(K)\), ...
exo7 3366
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\). Montrer qu’il existe \(U,V \in GL_n( K)\) telles ...
exo7 3367
Soit \(P \in GL_n( K)\). Montrer que l’application ...
exo7 3369
On note \((E_{ij})\) la base canonique de \(\mathcal{M}_n(K)\).
exo7 3373
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et ...
exo7 3376
Soit \(H\) un hyperplan de \(\mathcal{M}_n(K)\) ...
exo7 3377
Une matrice carrée \(M\) est dite magique si les sommes des coefficients de ...
exo7 3379
Soient \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)\) et \(B \in \mathcal{M}_{p,n}(K)\). On note ...
exo7 3380
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\R)\) antisymétrique.
exo7 3381
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1&1\cr 1&1 \cr\end{pmatrix}\). On veut résoudre l’équation dans ...
exo7 3384
Soit \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(\R)\). On dit que \(A\) est positive si tous ses c ...
exo7 3385
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(K)\). Exprimer en fonction de \(k\) le terme génér ...
exo7 3386
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\). On suppose qu’il existe \(\lambda,\mu \in K\) e ...
exo7 3387
Une partie \({\cal I} \subset \mathcal{M}_n(K)\) est appelée idéal à droite de ...
exo7 3395
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1&0&0\cr 0&1&1\cr 1&0&1 \cr\end{pmatrix}\). En écrivant ...
exo7 3396
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 &2 &3\cr 2 &3 &1\cr 3 &1 &2 \cr\end{pmatrix}\).
exo7 3397
Calculer \(A^k\) pour \(k \in \N\) :
exo7 3398
Inverser les matrices suivantes :
exo7 3399
Soient ...
exo7 3407
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) telle que \(a_{ij} = (-1)^{n-j}C_{n-j}^{i-1}\). ...
exo7 3428
Soit \(M\) une matrice carrée d’ordre \(n\), et ...
exo7 3429
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\R)\) telles que \(AB = BA\). Montrer que ...
exo7 3430
Soient \(A,B,C,D \in \mathcal{M}_n(K)\) avec \(A\) inversible et ...
exo7 3436
Soient \(\vec a, \vec b, \vec c, \vec d\) quatre vecteurs d’un ev \(E\) de dimens ...