Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
Espaces vectoriels et applications linéaires
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- acquérir les notions de base relatives aux espaces vectoriels et à l’indépendance linéaire ;
- reconnaître les problèmes linéaires et les traduire à l’aide des notions d’espace vectoriel et d’application linéaire ;
- définir la notion de dimension, qui décrit le nombre de degrés de liberté d’un problème linéaire ; on insistera sur les méthodes de calcul de dimension et on fera apparaître que ces méthodes reposent sur deux types de représentation : paramétrisation linéaire d’un sous-espace, description d’un sous-espace par équations linéaires.
En petite dimension, l’intuition géométrique permet d’interpréter les notions de l’algèbre linéaire, ce qui facilite leur extension au cas général : on en tirera parti par de nombreuses figures.
$\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Tout développement théorique sur les espaces de dimension infinie est hors programme.
exo7 4950
Soit \(ABC\) un triangle et \(\mathcal{C}\) son cercle circonscrit. Soit ...
exo7 4951
Soit \({\cal C} = {\cal C}(O,r)\) un cercle du plan et \(f\) une application affi ...
exo7 4954
Trois figures \(F_1,F_2,F_3\) se déduisent l’une de l’autre par rotations. Montrer qu’il existe une figure ...
exo7 4956
Soit \(G\) un sous-groupe fini de déplacements du plan.
exo7 4958
Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points distinct ...
exo7 4959
Soient \(A,B,C,D,E\) cinq points de l’espace et \(k \in \R\).
Déterminer l ...
exo7 4963
Dans un rond on donne les droites \(D : \begin{cases}x - y + z = -1 \cr 2x + y - z = 0 \cr\end{cases}\) ...
exo7 4964
Dans un rond on donne les droites \(D : \begin{cases}x +2y - z = 1 \cr 2x - y +2z = 2 \cr\end{cases}\) ...
exo7 4965
Soit \(ABCD\) un tétraèdre dont les quatre faces ont même aire. Montrer que les côtés non coplanaires ont deux à d ...
exo7 4966
Soit \(ABCD\) un tétraèdre régulier de côté \(a\). Chercher la distance entre deu ...
exo7 4967
Dans un rond on donne la droite \(D : \begin{cases} x +2y - z = -3 \cr x - y +2z = -4\cr\end{cases}\) e ...
exo7 4968
Dans un rond on donne le plan \(P : x + 2y + 3z = 4\). Déterminer l’expression analytique de la projectio ...
exo7 4978
Soit \(ABCD\) un tétraèdre régulier, et \(d_{AB},d_{AC},d_{AD}\) les ...
exo7 4981
Soient \(D_1\), \(D_2\), \(D_3\) trois droites d ...
exo7 5042
On considère la courbe \(\mathcal{C}\) définie par : \(x(t) = \frac{t^4}{1+t^2}\) ...
exo7 5164
Soit \(E\) le \(\Rr\)-espace vectoriel des applications de ...
exo7 5165
On munit \(\Rr^n\) des lois produit usuelles. Parmi les sous-ensembles suivants ...
exo7 5166
Soit \(E\) un \(\Kk\)-espace vectoriel. Soient ...
exo7 5167
Soit \(\Rr^\Nn\) le \(\Rr\)-espace vectoriel des suites réelles (muni des opérati ...
exo7 5168
Soit \(F\) le sous-espace vectoriel de \(\Rr^4\) engendré par ...
exo7 5169
Montrer que \(a=(1,2,3)\) et \(b=(2,-1,1)\) engendrent le même sous espace de ...
exo7 5170
Vérifier qu’il existe une unique application linéaire de \(\Rr^3\) dans \(\Rr^2\) ...
exo7 5171
Soit \(E\) un \(\Kk\)-espace vectoriel et \(f\) ...
exo7 5172
Soient \(E\) un \(\Kk\)-espace vectoriel et ...
exo7 5173
Dans \(E=\Rr^4\), on considère ...
exo7 5174
Soit ...
exo7 5175
Soit \(C\) l’ensemble des applications de \(\Rr\) dans ...
exo7 5177
Soient \(E\) un \(\Kk\)-espace vectoriel et ...
exo7 5178
Soient \(u=(1,1,...,1)\) et \(F=\mbox{Vect}(u)\) puis ...
exo7 5179
Soit \(n\) un entier naturel. Montrer que si \(n\) n’est pas un carré parfait alo ...
exo7 5180
Dans \(E=\Rr^\Rr\), étudier la liberté des familles suivantes \(A\) de vecteurs d ...
exo7 5181
Soit \(E\) un \(\Kk\)-espace vectoriel et soit ...
exo7 5182
Soit \(E=\Rr[X]\) le \(\Rr\)-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. ...
exo7 5183
\(E\) désigne l’espace vectoriel \(\Rr^4\) (muni des opérations usuelles). On con ...
exo7 5184
Soit \(\Kk\) un sous-corps de \(\Cc\), \(E\) un ...
exo7 5185
Soit \(\Kk\) un sous-corps de \(\Cc\) et \(E\) u ...
exo7 5186
Soit \(E=\Rr_n[X]\), le \(\Rr\)-espace vectoriel des polynômes à coefficients rée ...
exo7 5187
Soient \((e_i)_{1\leq i\leq 4}\) la base canonique de \(\Rr^4\) et ...
exo7 5188
Soit ...
exo7 5190
Soient \(\Kk\) un sous-corps de \(\Cc\) et \(E\) ...
exo7 5191
Soient \(\Kk\) un sous-corps de \(\Cc\) et \(E\) ...
exo7 5192
Soient \(\Kk\) un sous-corps de \(\Cc\), ...
exo7 5193
Soient \(\Kk\) un sous-corps de \(\Cc\) et \(E\) ...
exo7 5194
Soient \(\Kk\) un sous-corps de \(\Cc\), ...
exo7 5196
On donne les points \(A(1,2)\), \(B(-2,1)\) et ...
exo7 5198
Soit \((ABDC)\) un parallélogramme. Déterminer les coordonnées de \(D\) dans le r ...
exo7 5199
Soit \((E)\) l’ensemble d’équation cartésienne \(2x^2+5xy+3y^2-3x-2y-5=0\). Montr ...
exo7 5202
Soient \(n\) un entier supérieur ou égal à ...
exo7 5203
Soit \(\mathcal{C}\) la courbe d’équation \(x^2+y^2-2x+4y+1=0\).