Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
Espaces vectoriels et applications linéaires
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- acquérir les notions de base relatives aux espaces vectoriels et à l’indépendance linéaire ;
- reconnaître les problèmes linéaires et les traduire à l’aide des notions d’espace vectoriel et d’application linéaire ;
- définir la notion de dimension, qui décrit le nombre de degrés de liberté d’un problème linéaire ; on insistera sur les méthodes de calcul de dimension et on fera apparaître que ces méthodes reposent sur deux types de représentation : paramétrisation linéaire d’un sous-espace, description d’un sous-espace par équations linéaires.
En petite dimension, l’intuition géométrique permet d’interpréter les notions de l’algèbre linéaire, ce qui facilite leur extension au cas général : on en tirera parti par de nombreuses figures.
$\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Tout développement théorique sur les espaces de dimension infinie est hors programme.
exo7 2778
En utilisant les opérations d’addition \(+\) et de multiplication \(\cdot\) de de ...
exo7 2779
Qu’est -ce qui empêche de définir les mêmes opérations que dans l’exercice précédent sur les ensembles suivants ?
exo7 2780
Soient dans \(\mathbb{R}^3\) les vecteurs \(\vec{v_1}= (1,1,0)\), ...
exo7 2781
Les familles suivantes sont-elles libres ?
exo7 2782
On suppose que \(v_1, v_2, v_3, \ldots,v_n\) sont des vecteurs indépendants de ...
exo7 2925
Montrer que toute droite du plan admet pour équation complexe : \(az + \overline{az} = b\) avec ...
exo7 3029
On dit que \(K\) est un corps gauche si \((K,+,\times)\) est un anneau et si ...
exo7 3164
Soit \(a,b \in K,\ a \ne b\). On pose \(P_k = (X-a)^k(X-b)^{n-k}\). Dé ...
exo7 3165
Soit \(n\in\N^*\). Pour \(k\in{[[0,n]]}\) on pose ...
exo7 3166
Soient \(U,V \in K[X]\) non constants. On pose \(P_k = U^kV^{n-k}\). Montrer que ...
exo7 3168
On note \(U_p = \frac { X (X-1) \cdots (X-p+1) }{p!},\quad p \in \N\), et ...
exo7 3169
Soit \(P \in { K[X]}\) de degré \(n\). Démontrer que la ...
exo7 3170
Soit \(k\in\N^*\) et \(z_0,\dots,z_k\) des complexes. Soient les polynô ...
exo7 3172
Soit \(\Phi : { K[X]} \to { K[X]}, P \mapsto {P(X+1)+P(X-1)-2P(X)}\)
exo7 3173
Soit \(a\in K\) et ...
exo7 3181
Montrer qu’il existe un unique polynôme \(P_n \in { K[X]}\) tel que ...
exo7 3183
Soit \(\Phi \in \mathcal{L} { K[X]}\) commutant avec la dérivation, c’est à dire : ...
exo7 3186
Montrer que pour tout entier \(n \in \N\) il existe un unique polynôme ...
exo7 3197
Soit \(B \in { K[X]}\) de degré \(n > 0\). On considè ...
exo7 3198
Soit \(E = K_3[X],\ A = X^4-1,\ B = X^4-X,\) et ...
exo7 3211
Soient \(A,B \in { K[X]}\), \(p = \deg A\), ...
exo7 3260
Trouver \(a,b,c,d \in \R\) tels que : ...
exo7 3297
On considère les vecteurs de \(K^3\) : \(\vec a = (1, 2, 1)\), ...
exo7 3298
Soient \(F,G,H\) trois sous-espaces d’un espace vectoriel \(E\). Comparer ...
exo7 3299
Soient \(F,G,F',G'\) des sev d’un ev \(E\).
Montrer que si ...
exo7 3300
Soit \(E\) un \(K\)-ev non nul et ...
exo7 3301
Étudier la liberté des familles suivantes :
exo7 3302
On considère que \(\R\) est un \(\Q\)-espace vectoriel.
exo7 3303
Soit \(E\) un espace vectoriel, \((\vec x_1,\dots,\vec x_n)\) une famille libre d ...
exo7 3304
Soit \(E\) l’ev \(\R^\R\), \(F\) le sev engendré ...
exo7 3305
Soit \(A = \{P\in\R[X]\) tq \(P=(1-X)Q(X^2)\) avec ...
exo7 3306
Soit \(f : E \to F\) une application linéaire et \(E_1\), ...
exo7 3307
Soient \(E,F\) deux espaces vectoriels et \(f : E \to F\) linéaire.
exo7 3308
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(f,g \in \mathcal{L}(E)\). Montrer que ...
exo7 3309
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(f \in \mathcal{L}(E)\) tel que pour tout ...
exo7 3310
Soient \(f,g \in \mathcal{L}(E)\) tels que \(f\circ g \circ f = f\) et ...
exo7 3311
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) tel que \(f^3 = \mathrm{id}_E\).
exo7 3312
On considère que \(\C\) est un \(\R\)-espace vectoriel.
exo7 3313
Soit \(E\) un \(K\)-ev et \(f : E \to { K}\) une ...
exo7 3315
Est-il vrai que \(\mathcal{L}({E\times F})\) et ...
exo7 3316
Soit \(u\in\mathcal{L}(E)\). On pose pour \(v\in\mathcal{L}(E)\) : ...
exo7 3317
Montrer que dans \(\R^3\), les trois vecteurs \(\vec a = (1,0,1)\), ...
exo7 3318
Dans \(\R^4\), trouver le rang de la famille de vecteurs :
...
exo7 3319
Soit \(0=x_0 < x_1 < \dots < x_n = 1\) une subdivision de \([0,1]\) et ...
exo7 3320
Dans \(K^3\), on donne les sous espaces : ...
exo7 3321
Soit \(E = H \oplus K\) et \((\vec e_1,\dots,\vec e_k)\) une base de ...
exo7 3322
Soient \(H,K\) deux sev d’un ev \(E\) de dimension finie. Montrer que ...
exo7 3323
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \((F_i)_{i\in I}\) une famille de sous-esp ...
exo7 3325
Soient \(H \subset K \subset L\) trois sous-corps de \(\C\).
exo7 3326
Soit \(\mathbb{A}\) une \(\R\)-algèbre commutative, intègre et de dimension finie ...