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Dire si les applications suivantes sont des produits scalaires :

Soit \(E = \R_2[X]\) muni du produit scalaire : ...

Soit \(E\) un espace euclidien.

On munit \(E = \R_n[X]\) du produit scalaire : Pour \(P = \sum_i a_iX^i\) et ...

Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(p \in \mathcal{L}(E)\) une projecti ...

Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien, \(u \in \mathcal{L}(E)\) et ...

Soient \(E\) espace vectoriel euclidien, \(\vec a \in E\) et ...

Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\R)\) inversible. Montrer qu’il existe une matrice orthogonale, ...

Soit \(E\) un espace euclidien de dimension supérieure ou égale à 3. Existe-t-il trois vecteurs ...

On munit \(\R_2[X]\) du produit scalaire : ...

Soit \(P \in \R[X]\) de degré inférieur ou égal à 3 tel que ...

Soit \(H\) un espace euclidien, \((y_j)_{j\in I}\) une famille de vecteurs de  ...

Soient \(\vec u,\vec v,\vec w\) trois vecteurs d’un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3.

On d ...

La matrice \(A = \begin{pmatrix}4&1&1\cr1&4&1\cr1&1&4\cr\end{pmatrix}\) est-elle une matri ...

Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...

Soit \(\vec v \in E\setminus\{\vec0\}\) et \(\lambda \in \R\). On pose pour ...

Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soient ...

Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...

Soit \(P \in {\cal O}(n)\). A l’aide de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, démontrer que : ...

Soit \(E\) un \(\R\)-espace vectoriel de dimension finie et ...

Soit \(f : {\R^n} \to {\R^n}, {(x_1,\dots,x_n)} \mapsto {(x_1-x_n,x_2-x_1,\dots,x_n-x_{n-1}).}\) Avec la structure ...

Pour \(P,Q \in \R_n[X]\) on pose ...

Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) auto-adjoint et ...

Déterminer \(a\), \(b\), \(c\), réels non nuls p ...

Soit \(E\) l’ensemble des suites \((u_n)_{n\in\N}\) à termes réels telles que la ...

Montrer que les applications : ...

Soit \(E = \mathcal{C}([a,b],\R)\) et \(u : {[a,b]} \to \R\) une fonction continu ...

Soit \(E = \mathcal{C}([a,b],\R)\) et \((a_n)\) une suite d’éléments de ...

Soit un vecteur \(v=(v_1,v_2,v_3)\) de \(\R^3\) muni de sa base canonique ...

Soient \((u_n)\), \((v_n)\) deux suites réelles telles que ...

Soit \(P\in\R[X]\). Vérifier que : ...

Soit \(E\) un evn, et \(\vec a \in E\), ...

On note \(E\) l’espace vectoriel des suites réelles \((x_n)\) telles ...

Pour \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\), on pose \(\|A\| = \sqrt{\mathrm{tr}({}^tAA)}\). ...

Soit \(E\) un espace préhilbertien réel et ...

Soit \(E\) un espace vectoriel réel. On considère une application ...

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) et \(f \in \mathcal{L}(\R^n)\), ...

Soient \(a_1,\ldots,a_n,\ b_1,\ldots,b_n \in \Rr\), les \(a_i\) n’étant pas tous ...

Soient \(O,A\) deux points distincts du plan. Trouver les points \(M\) tels que ...

Soit \(ABC\) un triangle équilatéral de côté \(a\).

Quels sont les points ...

Soit \(ABC\) un triangle et \(\mathcal{C}\) son cercle circonscrit. Soit ...

Dans un rond on donne les droites \(D : \begin{cases}x +2y - z = 1 \cr 2x - y +2z = 2 \cr\end{cases}\) ...

Dans un rond on donne la droite \(D : \begin{cases} x +2y - z = -3 \cr x - y +2z = -4\cr\end{cases}\) e ...

Soient \(n\in \Nn^{*},\) et \((x_{1},x_{2},...,x_{n})\in \Rr^{n}\) tels que ...

Montrer qu’il n’existe pas de triangle équilatéral dont les sommets appartiennent aux points d’intersection des lignes d’une feuille blanche quadri ...

Soient \(a_1\),..., \(a_n\), \(b_1\),..., ...

Soient \(x_1\), \(x_2\),..., \(x_n\), ...

Pour \(A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\mathcal{M}_n(\Rr)\), ...

Soit \(E\) un \(\Rr\) espace vectoriel de dimension finie. Soit ...

Soit \(\mathcal{B}\) une base orthonormée de \(E\), espace euclidien de dimension ...