Programme de mathématiques PTSI · semestre 1
Fonctions d’une variable réelle : limites et continuité, dérivabilité
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Dans cette section, on démontre les théorèmes de base relatifs aux fonctions réelles de variable réelle. Dans de nombreuses questions de nature qualitative, on visualise une fonction par son graphe. Il convient de souligner cet aspect géométrique en ayant recours à de nombreuses figures.
Les fonctions sont définies sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ non vide et non réduit à un point et, sauf dans les paragraphes A-d) et B-e), sont à valeurs réelles. On dit qu’une propriété portant sur une fonction $f$ définie sur $I$ est vraie au voisinage de $a$ si elle est vraie sur l’intersection de $I$ avec un intervalle ouvert centré en $a$ si $a$ est réel, avec un intervalle $]A,+\infty[$ si $a=+\infty$, avec un intervalle $]-\infty,A[$ si $a=-\infty$.
L’étude des suites récurrentes $u_{n+1}=f(u_n)$ est l’occasion d’introduire la notion de vitesse de convergence. Sur des exemples, on met en évidence divers comportements (convergence lente, géométrique, quadratique) en explicitant le nombre d’itérations nécessaires pour obtenir une précision donnée. On pourra en particulier présenter la méthode de Newton. De même, l’étude de la dérivabilité donne un prétexte pour présenter la notion de discrétisation, à travers la méthode d’Euler.
exo7 5242
Montrer que pour \(x\) réel strictement positif, on a : ...
exo7 5246
Soit \(u_n\) l’unique racine positive de l’équation \(x^n+x-1=0\). Etudier la sui ...
exo7 534
Montrer que pour \(n\geq1\), l’équation \(x^n+x^{n-1}+x^2+x-{n+1 \over n}=0\) adm ...
exo7 5373
Soient \(a_{i,j}\) (\((i,j)\) élément de ...
exo7 5382
Soit \(f\) une fonction réelle d’une variable réelle définie et continue sur un voisinage de ...
exo7 5383
Soit \(f\) une fonction définie sur un voisinage de \(0\) telle que ...
exo7 5384
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues en ...
exo7 5385
Soit \(A\) une partie non vide de \(\Rr\). Pour ...
exo7 5386
Montrer en revenant à la définition que \(f(x)=\frac{3x-1}{x-5}\) est continue en tout point de ...
exo7 5387
Montrer que la fonction caractéristique de \(\Qq\) est discontinue en chacun de ses points.
exo7 5388
Etudier l’existence d’une limite et la continuité éventuelle en chacun de ses points de la fonction définie sur ...
exo7 5389
Etudier en chaque point de \(\Rr\) l’existence d’une limite à droite, à gauche, la continuité de la fonction ...
exo7 539
On considère la fonction \(f : \R \longrightarrow \R\) définie par ...
exo7 5390
Trouver \(f\) bijective de \([0,1]\) sur lui-même et discontinue en chacun de ses ...
exo7 5391
Soit \(f\) une fonction continue et périodique sur \(\Rr\) à valeurs dans ...
exo7 5392
Soit \(A\) une partie non vide de \(\Rr\). Pour ...
exo7 5393
Soit \(f\) continue sur \([a,b]\) à valeurs da ...
exo7 5394
Soit \(f\) définie sur \([0,+\infty[\) à valeurs dans ...
exo7 5395
Soit \(f\) croissante de \([a,b]\) dans lui-même. Montrer que ...
exo7 5396
Soit \(f\) croissante sur \([a,b]\) telle que ...
exo7 5397
Soit \(f\) continue sur \(\Rr^+\) telle que, pour tout réel positif ...
exo7 5398
Soit \(f\) continue sur \(\Rr^+\) à valeurs dans ...
exo7 5399
Trouver tous les morphismes continus de \((\Rr,+)\).
exo7 5402
Soit \(f\) une application continue sur un intervalle \(I\) de ...
exo7 5404
Soit \(f\) de \([0,1]\) dans lui-même telle que ...
exo7 5406
Soit \(f\) une application de \([0,1]\) dans ...
exo7 5407
Soit \(f\in C^1([a,b],\Rr)\) telle que ...
exo7 5408
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que ...
exo7 5409
Soit \(f\in C^2([a,b],\Rr)\cap D^3(]a,b[,\Rr)\). Montrer qu’il existe ...
exo7 5410
Soit \(f\) une fonction convexe sur un intervalle ouvert \(I\) de ...
exo7 5412
Pour \(n\) entier naturel non nul donné, on pose \(L_n=((X^2-1)^n)^{(n)}\).
exo7 5413
Déterminer dans chacun des cas suivants la dérivée \(n\)-ème de la fonction proposée :
...
exo7 5414
Montrer que la fonction définie sur \(\Rr\) par \(f(x)=e^{-1/x^2}\) si ...
exo7 5415
Montrer que pour tout réel strictement positif \(x\), on a : ...
exo7 5416
Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(\Rr\) à valeurs dans ...
exo7 5417
Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle ouvert \(I\) à valeurs dans ...
exo7 5419
Etudier la dérivabilité à droite en \(0\) de la fonction ...
exo7 542
Étudier la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=0\) et ...
exo7 5421
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur ...
exo7 5422
Soit \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\Rr_+^*\) tel ...
exo7 5424
Soit \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\Rr\) vérifia ...
exo7 5426
Etudier l’existence et la valeur éventuelle des limites suivantes
exo7 5428
Soit \(0<a<b\). Etude complète de la fonction ...
exo7 5430
Soit \(f(x)=\frac{x}{1-x^2}\). Calculer \(f^{(n)}(0)\) en moins de ...
exo7 5437
Montrer que l’équation \(\tan x=x\) a une unique solution dans l’intervalle ...
exo7 5438
Montrer que l’équation \(x+\ln x=k\) admet, pour \(k\) réel donné, une unique sol ...
exo7 5439
Soit \(f(x)=1+x+x^2+x^3\sin\frac{1}{x^2}\) si \(x\neq0\) et ...
exo7 544
Étudier la suite définie par \(u_{n+1}= \cos u_n\) et \(u_0=-8\).
exo7 5440
Étude au voisinage de \(0\) de \(f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{\Arcsin x}\) (existenc ...
exo7 5443
Etude complète des fonctions suivantes