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Pour \(x\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\), on pose \(f(x) =\tan x\). ...

Soit \(E=\Rr[X]\). Pour \((P,Q)\in E^2\), on pose ...

Soit \(f\) une fonction continue sur \([0,1]\), non nulle à valeurs réelles posit ...

Soit \(P\) un polynôme de degré \(3\) à coefficients réels. Montrer que la courbe ...

Calculer \(\text{exp}(tA)\), \(t\in\Rr\), si

Soit \(A=\left( \begin{array}{ccc} 0&1/2&-2\\ 1/2&0&0\\ 0&0&-1/2 \end{array} \right)\). Ca ...

Montrer que \(\forall A\in\mathcal{M}_n(\Rr)\), \(\text{exp}(A)\) est un polynôme ...

Soit \(\beta \in \Cc\) tel que \(\beta^7=1\) et ...

Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes à coefficients réels de degré respectif ...

Soit \(P\in{\Cc}[X]\) un polynôme de racines \(z_1,\ldots ,z_n\) distinctes ou no ...

Soient \(\rho, \theta, \varphi\) les coordonnées sphériques dans \(\Rr^3\). On po ...

Soit \(f:\Rr \to \Rr\) une application \(C^\infty\) et soit ...

Soit \(A\in {\cal L}(\Rr^n)\) et \(0<\rho=\sup\{|\lambda|;\ \lambda\) valeur p ...

Montrer que les groupes suivants ne sont pas isomorphes :

Montrer que les anneaux de polynômes \(\R[X]\) et \(\C[X]\) ne sont pas isomorphe ...

Pour les anneaux de polynômes sur un corps \(F\) montrer que ...

Soit \(\mathbb{F}\) un corps et \(P,\; Q\in \mathbb{F}[X]\) tels que ...

Trouver tous les automorphismes de l’anneau \(\mathbb{F} [X]\), où \(\mathbb{F}\) ...

Soit \(P(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_0\in \Z[X]\) et soit \(c\in \Q\) une ...

Montrer que le polynôme \(X^2-1\) a quatre zéros dans \(\Z /15\Z\). Est-ce que ce ...

Montrer que \(X^2+1\) est irréductible en tant qu’élément de \(\Q[X]\) mais réduc ...

Si \(\mathbb{F}\) est un corps, montrer qu’un polynôme \(P\) de degré 2 ou 3 dans ...

Lesquels parmi les polynômes suivants sont irréductibles dans \(\Q[X]\) ?

...

Soit \(p\in \N^*\) un nombre premier. Montrer que les polynômes ...

Soit \(D\) un anneau intègre fini contenant \(n\) éléments distincts ...

Soit \(A\) un anneau commutatif. Montrer l’équivalence des deux affirmations suivantes :

Calculer la dérivée du polynôme \((3X^2+2X-4)(4X^3-2X+3)\in \mathbb{F}_5 [X]\).

Soit \(K\) un corps et soit \(K(X)\) le corps des fractions de l’anneau ...

Montrer que si \(K\) est un corps de caractéristique différente de \(2\) alors ...

Calculer la somme des carrés des racines de l’équation \(x^3+2x-3=0\).

Exprimer à l’aide des polynômes symétriques fondamentaux :

Calculer le résultant des polynômes :

Pour quelle valeur de \(\lambda\) les polynômes suivants ont-ils un zéro en commun ?

Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :

Montrer que les fonctions suivantes ne sont pas des polynômes : ...

Effectuer la division euclidienne de \(A\) par \(B\) :

À quelle condition sur \(a,b,c\in\Rr\) le polynôme \(X^4+aX^2+bX+c\) est-il divis ...

Déterminer les pgcd des polynômes suivants:

Factoriser dans \(\Rr[X]\) et \(\Cc[X]\) les polynômes suivants : ...

Trouver tous les polynômes \(P\) qui vérifient la relation \[P(X^2)=P(X)P(X+1)\] ...

Soit \(n\in\Nn\). Montrer qu’il existe un unique \(P\in\Cc[X]\) tel que ...

Soit \(P=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_1X+a_0\) un polynôme de degré \(n\ge 1\) à c ...

Existe-t-il une fraction rationnelle \(F\) telle que ...

Soit \(n\in\Nn^*\) et \(P(X)=c(X-a_1)\cdots(X-a_n)\) (où les ...

Décomposer les fractions suivantes en éléments simples sur \(\Rr\), par identification des coefficients.

Décomposer les fractions suivantes en éléments simples sur \(\Rr\), en raisonnant par substitution pour obtenir le ...

Décomposer les fractions suivantes en éléments simples sur \(\Cc\). ...

On pose \(Q_0=(X-1)(X-2)^2\), \(Q_1=X(X-2)^2\) et ...

Soit \(T_n(x)=\cos\big(n \arccos(x)\big)\) pour \(x\in [-1,1]\).