Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Outils 1 – Logique, ensembles et raisonnemment
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Les notions présentées ci-dessous, introduites dès la classe de Seconde, sont reprises comme outils pour l’algorithmique et les probabilités et doivent faire l’objet d’un développement très modeste sans abstraction excessive. Les exemples illustrant ces notions seront une première occasion d’introduire des situations probabilistes.
Ces notions ne pourront constituer le thème principal d’aucune question d’écrit ou d’oral.
exo7 7300
Soit \(E\) un ensemble, on note \(\mathcal{P}(E)\) l’ensemble des parties de ...
exo7 7350
Considérons le groupe \((\Zz , +)\). Le sous-ensemble \(4\Zz\) est par définition ...
exo7 7351
Soit \(E\) un ensemble et \(\mathcal{P}(E)\) l’ensemble de ses parties.
exo7 820
Calculer par récurrence : \[I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{du}{\cos ^{n}u}.\]
La différence symétrique
Soit \(E\) un ensemble. Pour toutes parties \(A\) et ...
Lois de de Morgan et distributivités
Soient \(E\) un ensemble, et \(A,B\) et \(C\) de ...
Non inclusion
Montrer que \(\Z\not \subset \N\), \(\mathbb{D}\not \subset \Z\) et ...
Négation et traducation
Traduire en français, puis écrire la négation des propositions suivantes.
Récurrences
Démontrer par récurrence les résultats suivants :
Sur la conjonction
Démontrer l’idempotence, la commutativité et l’associativité de la conjonction, à l’aide de tables de vérité.
Sur la disjonction
Démontrer l’idempotence, la commutativité, l’associativité et le tiers exclu de la disjonction, à l’aide de tables de vérité.
Sur les ensembles de suites
On se place dans \(\R^{\N}\) l’ensemble des suites réelles. On note :
...
Système hexadécimal
Soit \(E=\left \{ 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F\right\}\) l’ensemble des chiffres du système hexadécimal. On co ...
Une somme combinatoire
Soient \(n\) et \(p\) deux entiers naturels tels que ...
Une somme combinatoire
Soient \(n\) et \(p\) deux entiers naturels tels que ...
Unions nous, incluons nous
Expliciter les trois ensembles suivants : ...