Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
b) Vocabulaire des ensembles
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Ensemble, élément, appartenance. | |
Sous-ensemble (ou partie), inclusion. Réunion. Intersection. Complémentaire. | On se limite aux unions et intersections finies. |
Complémentaire d’une union et d’une intersection, distributivité de $\cup$ sur $\cap$ et de $\cap$ sur $\cup$. | Le complémentaire d’une partie $A$ est noté $\overline{A}$. |
Couple, $p$-uplet. Produit cartésien. | Un élément de $E^p$ est aussi appelé une $p$-liste d’éléments de $E$. |
Quantificateurs universel et existentiel. Négation d’une assertion quantifiée. | Ces éléments, présentés dans les classes antérieures, sont repris afin de viser une expression mathématique précise. L’usage des quantificateurs hors des énoncés mathématiques est à proscrire. |
Des bijectivités compliquées
On note \(E\) l’ensemble des suites \((u_n)\) géométriques, telles que ...
Des propriétés sur les ensembles
Soit \(E\) un ensemble, et \(A, B, D\) des parties non vides de ...
Ensemble des parties
Déterminer les éléments de \(\partie\left(\{0, 1, 2\}\right)\) et de ...
Ensembles
Soient les ensembles suivants : ...
exo7 109
Dans \(\R^2\), on définit les ensembles \(F_{1}=\{(x,y)\in\R^2,\ y\leq0\}\) et ...
exo7 110
Nier la proposition: “tous les habitants de la rue du Havre qui ont les yeux bleus gagneront au loto et prendront leur retraite avant 50 ans”.
exo7 117
Comparer les différentes phrases (sont-elles équivalentes, contraires, quelles sont celles qui impliquent les autres...)
exo7 118
Si \(P (x)\) est une proposition dépendant de \(x \in X\), on note ...
exo7 121
Montrer que \(\emptyset \subset X\), pour tout ensemble \(X\).
exo7 122
Montrer par contraposition les assertions suivantes, \(E\) étant un ensemble :
exo7 123
Soit \(A,B\) deux ensembles, montrer ...
exo7 125
\(A\) et \(B\) étant des parties d’un ensemble ...
exo7 126
Démontrer les relations suivantes : ...
exo7 127
Montrer que si \(F\) et \(G\) sont des sous-ensembles de ...
exo7 128
Soit \(E\) et \(F\) des ensembles. Si ...
exo7 129
Soit \(A= \{a_1, a_2, a_3, a_4\}\) et \(B= \{b_1, b_2, b_3, b_4 ,b_5\}\). Écrire ...
exo7 1318
Soient \((G, \star)\) et \((H, \triangle)\) deux groupes. On définit sur ...
exo7 132
Soit \(A\) une partie de \(E\), on appelle fonction caractéristique de ...
exo7 1329
Soit \(E\) un ensemble muni d’une loi interne \(\star\). On appelle translation à ...
exo7 133
Soit un ensemble \(E\) et deux parties \(A\) et ...
exo7 134
Écrire l’ensemble de définition de chacune des fonctions numériques suivantes : \(x\mapsto\sqrt x\), ...
exo7 1342
Le groupe \((\Q ,+)\) est-il monogène ?
exo7 137
Montrez que chacun des ensembles suivants est un intervalle que vous calculerez. ...
exo7 138
Soient \(E\) un ensemble et \(A, B, C\) trois parties de ...
exo7 139
Soient \(E\) un ensemble et \(A, B, C\) trois parties de ...
exo7 140
Donner les positions relatives de \(A, B, C \subset E\) si ...
exo7 142
Montrer que \(A \cap B = A \cap C \Leftrightarrow A \cap \complement B = A \cap \complement C\).
exo7 143
Donner la liste des éléments de \(\mathcal{P} (\mathcal{P} (\left\{ 1, 2\right\}))\).
exo7 144
Soient \(A, B \subset E\). Résoudre les équations à l’inconnue \(X \subset E\) ...
exo7 145
Soient \(E, F, G\) trois ensembles. Montrer que ...
exo7 146
Soient \(E, F, G, H\) quatre ensembles. Comparer les ensembles ...
exo7 147
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions de \(\Nn\) dans ...
exo7 149
Soit \(X\) un ensemble et \(f\) une application de ...
exo7 1749
Simplifier l’écriture des ensembles suivants : ...
exo7 1782
Soient \(A\) et \(B\), deux parties d’un evn ...
exo7 1886
Soit \((E,N)\) une espace vectoriel. Montrer les équivalences : ...
exo7 1965
Montrer que l’intersection de deux parties convexes est convexe. Est-ce vrai pour l’union ?
exo7 2102
(I) Soit \(X\) un ensemble et \({\cal P} (X)\) l’ensemble des parties de ...
exo7 2103
Soit \(X\) un ensemble non vide et ordonné. Montrer qu’il existe une partie \(Y\) ...
exo7 236
Pour \(A,B\) deux ensembles de \(E\) on note ...
exo7 263
On définit les trois ensembles suivants : ...
exo7 2890
Soit \(E\) un ensemble, et \(A,B\) deux parties fixées de ...
exo7 2899
Soit \(f: E\to F\). Que pensez-vous des affirmations suivantes ?
exo7 2962
Soit \(*\) une opération sur \(E\). Pour ...
exo7 2971
Soit \(E\) un ensemble fini muni d’une opération interne \(*\) assoc ...
exo7 2974
Soit \(E\) un ensemble et \(G = {\cal P}(E)\).
exo7 2986
Soit \(G\) un groupe n’ayant pas de sous-groupe non trivial. Montrer que \(G\) es ...
exo7 2994
Soit \(G\) un groupe fini et \(H\) un sous-groupe de ...
exo7 2995
Soient \(H,K\) deux sous-groupes d’un groupe \(G\). Pour ...
exo7 3005
Soit \(E\) un ensemble fini et \(A = {\cal P}(E)\).