Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Outils 6 – Vocabulaire des applications
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
On évite ici tout excès de formalisme et on illustre les notions présentées par des exemples issus majoritairement de fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.
Ces notions ne pourront constituer le thème principal d’aucune question d’écrit ou d’oral.
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Application d’un ensemble de départ dans un ensemble d’arrivée. | On introduit les exemples des fonctions indicatrices et des suites. |
Image directe d’une partie de l’ensemble de départ. | La notion d’image réciproque d’une partie de l’ensemble d’arrivée n’est pas un attendu du programme. |
Composition. | On étudie quelques exemples fournis par des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ que l’on compose de diverses manières. |
Injection, surjection, bijection, application réciproque. Composée de deux bijections, réciproque de la composée. | On fait remarquer que, dans le cadre des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, une bijection et sa réciproque ont des graphes symétriques l’un de l’autre par rapport à la première bissectrice. |
exo7 2987
Soit \(n \in \N\), \(n \ge 3\). On note ...
exo7 2992
Soit \(E = \R \setminus \{0,1\}\), et \(f : E \to E, x \mapsto {\frac 1x}\), ...
exo7 3033
Soit \(E\) un ensemble non vide. On considère les relations sur ...
exo7 3051
Soit ...
exo7 5103
Exprimer à l’aide de quantificateurs les phrases suivantes puis donner leur négation.
exo7 5106
Dans chacun des cas suivants, déterminer \(f(I)\) puis vérifier que \(f\) réalise ...
exo7 5107
Pour \(z\neq i\), on pose \(f(z)=\frac{z+i}{z-i}\). Montrer que ...
exo7 5110
Montrer que : (\(g\circ f\;\mbox{injective}\Rightarrow f\;\mbox{injective}\)) et ...
exo7 5111
Parmi \(f\circ g\circ h\), \(g\circ h\circ f\) et ...
exo7 5113
Soient \((A_i)_{i\in I}\) une famille de parties d’un ensemble \(E\) indéxée par ...
exo7 5117
Montrer qu’il existe une injection de \(E\) dans \(\mathcal{P}(E)\).
exo7 5174
Soit ...
exo7 5245
Soit \(f\) une application injective de \(\Nn\) dans ...
exo7 5278
(***) Trouver une démonstration combinatoire de l’identité \(\sum_{}^{}C_n^{2k}=\sum_{}^{}C_n^{2k+1}\) ou encore d ...
exo7 5405
Trouver les fonctions bijectives de \([0,1]\) sur lui-même vérifiant ...
exo7 6153
Soit \(I=[a,b]\) et \(f : I\to\R\) dérivable ; soit ...
exo7 6184
Soit \(f\) une surjection continue de \(\Rr^2\) sur ...
exo7 6663
Montrer que la fonction \(f(z)=\tan z\) définie par ...
exo7 7197
Soit \(f : \R\to \mathbb U, t\mapsto e^{it}\), et soit \(\mathcal R\) la relation ...
exo7 7203
(Coégalisateur) Soient \(A\) et \(B\) deux ensembles et ...
exo7 7272
Soit \(E\) un plan euclidien et \(A\) et \(B\) d ...
exo7 813
Soit \(f:[a,b]\rightarrow \R\) une fonction strictement croissante et continûment dérivable. On considère les deux ...
Image directe et image réciproque d'intersection
Soit \(f:E\to F\) une application.
Image directe, image réciproque
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\R\) par ...
Images et antécédents
Déterminer les antécédents éventuels de \(-\sqrt{\pi}\), \(0\) et ...
Injectivité, surjectivité, bijectivité
Déterminer si les fonctions suivantes sont injectives, surjectives, bijectives.
...
Les intervalles sont en bijection ?!?
On note \(f:\left[0,\,1\right]\to \left[0,\,1\right[\) définie par
Si ...
Un perceptron à trois entrées : vote à la majorité
Trois capteurs renvoient chacun \(0\) (pas d’alerte) ou \(1\) (alerte). Un percep ...