Programme de mathématiques BCPST, seconde année
Algèbre linéaire 2 – Applications linéaires et matrices
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Le passage aux espaces vectoriels quelconques pousse à redéfinir les notions liées aux applications linéaires. Il convient de faire cette adaptation avec une certaine brièveté afin de garder tout le temps requis pour traiter des exemples.
On travaille dans $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
- a) Applications linéaires 121
- b) Cas de la dimension finie 74
- c) Matrices et applications linéaires 41
- d) Changement de base 31
exo7 2235
Soit \(a\in\Rr\) et ...
exo7 2237
Soit \(A=I-E-E^*\) une matrice carrée d’ordre \(N\) où ...
exo7 2238
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices réelles d’ordre ...
exo7 2365
Soit \(X = \Rr[x]\) l’ensemble des polynômes. Pour ...
exo7 2431
Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des formes linéaires sur \(C^\infty(\R)\) : ...
exo7 2432
Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des endomorphismes de \(C^\infty(\R)\) ( ...
exo7 2435
Soit \(E\) un espace vectoriel réel et \(u\) un endomorphisme de ...
exo7 2458
Soit \(E\) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre \(n\) réelles, et ...
exo7 2462
Systèmes linéaires.
exo7 2466
Soit la matrice ...
exo7 2473
Soit \(E\) l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à ...
exo7 2475
Trouver toutes les matrices de \(\mathcal{M}_3(\Rr)\) qui vérifient
exo7 2476
Soit \(E\) l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à ...
exo7 2498
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces normés réels et ...
exo7 2513
Soit \({\cal F}\) l’algèbre des matrices carrés \(p\times p\) munie d’une norme. ...
exo7 2564
Soit \(E\) un espace vectoriel sur un corps \(K\) ( ...
exo7 2612
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\). On note ...
exo7 2745
Soit la matrice ...
exo7 3307
Soient \(E,F\) deux espaces vectoriels et \(f : E \to F\) linéaire.
exo7 3308
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(f,g \in \mathcal{L}(E)\). Montrer que ...
exo7 3326
Soit \(\mathbb{A}\) une \(\R\)-algèbre commutative, intègre et de dimension finie ...
exo7 3327
Soient \(E,F\) deux \(K\)-ev et ...
exo7 3328
Soient \(E\), \(F\) deux ev de dimensions finies et ...
exo7 3329
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(f,g \in \mathcal{L}(E)\). Établir :
exo7 3331
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(f,g \in \mathcal{L}(E)\) tels que ...
exo7 3334
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) tel que \(f^3 = 0\).
exo7 3337
Soient \(E,F,G\) trois \(K\)-ev avec \(\dim(G)\) ...
exo7 3340
Soit \(f \in \mathcal{L}(E,F)\).
exo7 3348
Soit \(E\) un ev de dimension supérieure ou égale à 3 et ...
exo7 3349
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(f \in \mathcal{L}(E)\). On pose ...
exo7 3352
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(\cal A\) une sous-algèbre de ...
exo7 3368
Soit \(u\in\mathcal{L}({\R^3})\) ayant pour matrice dans la base canonique ...
exo7 3400
Soit \(f\) l’application linéaire de \(\R^4\) dans ...
exo7 3403
Montrer que ...
exo7 3404
Soient ...
exo7 3405
Les matrices ...
exo7 3407
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) telle que \(a_{ij} = (-1)^{n-j}C_{n-j}^{i-1}\). ...
exo7 3419
Soit \((S) \iff AX = B\) un système linéaire incompatible. Montrer que les lignes de ...
exo7 3420
Soient \(f,f_1,\dots,f_p\) des formes linéaires sur \(K^n\) linéairement indépend ...
exo7 3421
Soient \(f_1, \dots, f_n\), \(n\) formes linéaires indépendantes sur un ev ...
exo7 3423
Soient \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\), \(n\) scalaires distincts et ...
exo7 3431
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\). Étudier le rang de \(\text{com}(A)\) en fonctio ...
exo7 3433
Soit \(n\ge 2\) et \(A \in \mathcal{M}_n(K)\).
exo7 3434
On considère un système linéaire homogène : \((S) \iff AX = 0\), avec ...
exo7 3442
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et ...
exo7 3446
Soit \((S) \iff AX = B\) un système linéaire de \(n\) équations à ...
exo7 3462
Chercher ...
exo7 3463
Chercher ...
exo7 3466
Soit la matrice carrée d’ordre \(n\), \(I_p\) ( ...
exo7 3470
Soient \(x_1, \dots, x_p, y_1, \dots y_p \in K\). On note \(A,B\) les matrices d ...