Programme de mathématiques BCPST, seconde année
b) Dimension
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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On dit que $E$ est de dimension finie s’il possède une famille génératrice finie. De toute famille génératrice finie d’un espace $E$ non réduit au vecteur nul on peut extraire une base. Toutes les bases d’un espace vectoriel de dimension finie non réduit au vecteur nul $E$ ont le même cardinal ; ce nombre commun est appelé dimension de $E$. Par convention, l’espace vectoriel réduit au vecteur nul est de dimension 0. | |
Dans un espace vectoriel de dimension $n\geq 1$ : • Toute famille libre peut se compléter en une base. • Toute famille libre a au plus $n$ éléments. • Une famille libre ayant $n$ éléments est une base. • Toute famille génératrice a au moins $n$ éléments. • Une famille génératrice ayant $n$ éléments est une base. | Compte tenu des objectifs pédagogiques, la plupart de ces énoncés doivent être admis, mais on peut montrer comment certains de ces résultats peuvent en impliquer d’autres. |
Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, alors $F$ est de dimension finie et $\dim F\leq\dim E$. Si les deux dimensions sont égales, alors $F=E$. | |
Rang d’une famille finie de vecteurs. | Ce rang peut se calculer comme le rang de la matrice des coordonnées de la famille dans n’importe quelle base. |
Décomposition d’un sous-espace de $\mathbb{R}^3$
On considère dans \(\mathbb{R}^3\) l’ensemble ...
Espaces vectoriels engendrés dans $\mathbb{R}^3$
Dans \(\mathbb{R}^3\), on considère \(u=(1,1,0)\), ...
exo7 1015
Soit \(E\) est un espace vectoriel de dimension finie et \(F\) et ...
exo7 1016
Montrer que tout sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finie est de dimension finie.
exo7 1017
Soient \(P_0\), \(P_1\), \(P_2\) et ...
exo7 1900
I Préliminaires
exo7 3165
Soit \(n\in\N^*\). Pour \(k\in{[[0,n]]}\) on pose ...
exo7 3319
Soit \(0=x_0 < x_1 < \dots < x_n = 1\) une subdivision de \([0,1]\) et ...
exo7 3341
Soit \(E\) un \(\R\)-ev et ...
exo7 3343
Un endomorphisme \(f \in \mathcal{L}(E)\) est dit nilpotent s’il existe ...
exo7 3346
Soit \(E\) un ev de dimension \(n\) et ...
exo7 3421
Soient \(f_1, \dots, f_n\), \(n\) formes linéaires indépendantes sur un ev ...
exo7 3626
Dans \(K^3\) on considère les formes linéaires : \(f_1(\vec x) = x+2y+3z\), ...
exo7 3628
Soit \(E = K_n[X]\). Montrer que la famille \({\cal F} = (f_0,\dots,f_n)\) est u ...
exo7 3632
Soit \(E = K_n[X]\). On note \(P_0 = 1\), ...
exo7 3633
Soit \(E = K_n[X]\) et \(a,b \in K\) distincts. On pose ...
exo7 3638
Soient \(f_1,\dots,f_n : \R \to \R\) \(n\) fonctions linéairement indépendantes. ...
exo7 3639
Soit \(f : {\R^2} \to \R\). On dit que \(f\) est polynomiale si elle est de la fo ...
exo7 3642
Soit \(E\) l’ensemble des suites \(u=(u_n)\) à termes réels telles que pour tout ...
exo7 3646
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3648
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie \(n\), ...
exo7 3649
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie \(n\), ...
exo7 3732
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension quelconque, ...
exo7 5192
Soient \(\Kk\) un sous-corps de \(\Cc\), ...
exo7 5193
Soient \(\Kk\) un sous-corps de \(\Cc\) et \(E\) ...
exo7 930
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et ...
exo7 944
Soient \(E\) un espace vectoriel et \(F\) un sous-espace vectoriel de ...
exo7 946
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(\varphi\) une application ...
exo7 999
On munit \(E={ \Rr}^{*}_{+}\times { \Rr}\) de la loi interne “addition” + : ...
Sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^4$
On se place dans \(\mathbb{R}^4\). On considère ...